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1、.浅谈微分方程的起源与开展史摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开场于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的特殊技能的开展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比方，我们可以试着用的速度或加速度来计算粒子的位置，又比方，一些放射性物质可能是的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间确定材料的总量。通过这些例子，
2、我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数或者微分组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。关键字：微分方程 起源 开展史 一、微分方程的思想萌芽微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的开展是跟随着微积分理论的建立开展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着严密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动
3、规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开场于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的特殊技能的开展。1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比拟容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常
4、微分方程,简称微分方程。例1 传染病模型传染病瘟疫经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总人数不变，为常数，最开场的染病人数为，在时的安康人数为，染病人数为。因为 总人数为常数所以可得到式子 假设单位时间一个病人能传染的人数与当时的安康人数成正比，且比例常数为，称为传染系数，于是即可得到式子 由和可得 这个模型就是SI模型，即易感染者模型和已感染者模型。对于无免疫的传染性疾病如痢疾、伤风等等，病人在治愈以后还会有再次被感染的危险。所以我们可以假设单位时间的治愈率为，则方程就应该修改为由和可得， 这个模型称为SIS模型，就是这个传染病的平均传染期，为整个传染期每个病人有下接触的平均人
5、数平均接触数。对于很强免疫性的传染性疾病例如天花、流感等等，病人治愈以后不会有再被传染的时机。我们就可以假设在时刻的治愈后的免疫人数为，称为移出者，且治愈率为常数，所以可得 根据、和可得 这个模型称为SIR模型，综上所述三个类型的传染病模型、和均为微分方程微分方程就是根据此种生物类型的实际问题和其他的物理、几何、化学等的实际问题所受到的启发。二、 微分方程的推导 1.1术语和记号当我们用微分方程处理问题时，习惯性地用替代，用替代，更高阶的导数可以记为、等。当然其他字母，如,等等都可以用来代替.微分方程的阶，意思是出现在其中的导数的最高阶数。例如，是一阶，微分方程就是一个二阶方程。 1.2 微分
6、方程的推导 三、微分方程有哪些类型微分方程的类型：常微分方程自变量的个数 1个；偏微分方程自变量的个数2或2个以上 1.1 常微分方程自变量的个数只有1个：上述两个常微分方程自变量： 未知函数： 常微分方程的开展阶段：开展初期就是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于求通解时代。莱布尼茨Leibniz曾经专门有研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题。早期的常微分方程的求解热潮被维尔Liouville于1841年证明里卡帝方程不存在一般的初等解而中断。再加上柯西Cauchy初值问题的提出，常微分方程从求通解转向了求定解时代。首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解
7、的存在性、唯一性等解的性质的研究；其次，是针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，比方贝塞尔Bessel函数、勒让德Legendre多项式等，这就促成了微分方程与复变函数论结合产生微分方程解析理论。最后，因为天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近视方法的研究。19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大围形态，从而使常微分方程的研究从求定解问题转为求所有解的新时代。 首先，庞加莱创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大围性态。因为希尔伯特Hilbert提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大
8、促进了定性理论的开展。 然后，就是雅普诺夫Lyapunov提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值扰动不影响原方程解得趋势问题，在工程技术、天文、以及物理中得到广泛应用，先后在前联，美国都受到了很大的重视。 最后，20世纪初，伯克霍夫Birkhoff在动力系统方面开创了一个新的领域，因为拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺的Arnold、斯梅尔Smale等数学界的参加和参与，从而得到了蓬勃开展。20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的开展从而迎来了一个新的时期，从求所有解转化为求特殊解的一个时代，还发现了具有新性质的特殊的解和方程。在20世纪60年代洛伦兹发现了成为Lorenz
9、方程的常微分方程，对初值敏感的特性导致了混沌现象发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论。 常微分方程的研究还跟其他领域和学科相结合，从而出现各种新的研究分支，比方说时标微分方程、脉动微分方程、分支理论、控制论、泛函微分方程、种群生态学、广义微分方程等。例2 化学动力模型 1972年，化学家Schlogt提出了分子反省的化学动力学模型。设想一个化学反响体系部包含三种化学成分、和，、是反响物，为中间产物，进展这样一组化学反响：, 即类的一个分子反响后变为类的一个分子；类得一个分子与类的两个分子反响后变成3个类分子，相应的反响率分别为和；同时假定反响是可逆的，相应的反
10、响率分别为和，此处、均为正常数；、分别代表类、类和类的分子数。 既定反响过程不涉及任何热效应，所有成分组成一个理想溶液，反响动力学满足质量作用定律，于是有反响引起的各组成成分浓度的变化速率为当反映的条件是固定时，所有速率系数都是恒定的，设除了由于化学反响以外各成分的浓度还是可以通过和外界环境的交换而变化，其中成分与外界的交换速率为，于是各成分浓度的变化方程为如果只有成分和成分可以和外界交换，并通过交换而维持它们在体系中的浓度恒定，成分并不能和外界交换，它的浓度完全决定与体系部的动力学，所以就有方程在这种情况下体系的状态仅有单个变量来表征，并且有这就是Schlogt单分子化学动力学模型。 考虑有
11、两个中间变量的化学反响体系但这些发行步骤的总结果是其中和是反响物和产物，假定他们的浓度可由外界控制为恒定，和是两种反响中的中间产物，他们的浓度可以自由开展，逆反响过程可以完全忽略自催化，则有反响方程这是一类双分子化学动力学模型。现设一开放的体系中进展着下面一系列化学反响假定反响过程是恒定和均匀的，产物，一经产生即可除去，反响物浓度很高，无扩散，此时对和的反响动力学方程为化简上述式子可得：此式子是3分子化学动力学模型。 终上所述、和分子的化学反响模型均为常微分方程。1.2偏微分方程：偏微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几
12、个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，则这种微分方程就是偏微分方程自变量的个数为2个或2个以上。上述微分方程的自变量：、 未知函数：因为上述微分方程的自变量个数为3，所以该微分方程为偏微分方程。此微分方程的自变量：、 未知函数：因为此微分方程的自变量个数为2，所以该微分方程为偏微分方程。1.2.1 偏微分方程为题的来源 偏微分方程是由最初研究直接来源于几何和物理的问题最后开展到一个独立的数学分支，它的容比拟庞大复杂，方法多种多样。偏微分方程所讨论的问题也不仅仅是来源于几何、化学、物理、生物、力学等学科的问题，而且再解答这些问题是运用到了现代数学的许多工具。近几十年来，在这个领域
13、研究的工作，特别是对非线性方程的理论、运用以及计算方法的研究都能起到了极大的推动作用，十分活泼。 自然界中的各种运输现象，比方分子扩散过程和热传导过程等等，都是可以用票无形偏微分方程的。自然界中各种稳定的物理现象，比方浓度分布、稳定的温度分布、无旋稳定恒电流场、静电场等与时间无关的自然现象，则这就可以建立位势方程这样的数学模型了，这就是纯粹的数学中椭圆型微分方程进入稳定的物理现象的中间桥梁。自然界是一个特别大的系统，所以必然现象不过只是他其中的一个子系统。然而波动系统、运输现象和稳定的物理现象又是必然现象的下一层次的三个子系统。与之相对应的用来描述必然现象的数学模型的经典数学，它们分别是双曲型
14、、抛物型以及椭圆型偏微分方程这三个字系统。所以，同样是自然界中的必然现象，但还是存在着层次上的差异。我们最后在建立数学模型的时候，应该建立那种模型，这就需要我们具体问题具体分析了。1.2.2偏微分方程的开展过程在十八世纪，欧拉在他的著作中最早的提出了弦振动的而解方程而后不就，法国数学家达朗贝尔也在他的著作论动力学中提出了特殊的偏微分方程。在1747年的时候，达朗贝尔又在他的论文紧的弦振动时形成的曲线的研究中有明确的说出弦的震动所满足的偏微分方程，并且还给出了其通解。而且还提议说证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。就这样由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。所以说，达朗贝尔那次所发
15、表的论文紧的弦振动时形成的曲线的研究就被看作为偏微分方程论的开端。不仅如此，丹尼尔贝努利也有研究数学物理方面的问题，并且还提出了了解弹性系振动问题的一般方法，这对偏微分方程的开展也起了比拟大的作用。还有拉格朗日也有讨论一阶偏微分方程，更加丰富了这门学科的容。 偏微分方程是在十九世纪得到了迅速的开展，因为那时候有许多的数学物理问题的研究都多了起来，而且也有许多的数学家对那些问题的解决都做出了奉献。现在我们就谈一谈这其中的一位，他就是法国的数学家傅里叶，在他年轻的时候，他就是一个很出色的数学学者。他在对热流动的研究中，写出了热的解析理论，并且他在文章中提出了三维空间的热方程，而且他还解决它特殊条件下的热传导问题，也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方程的求解。这种热方程就是一种偏微分方程。他的研究对于偏微分方程的开展有着非常大的影响。1.2.3 偏微分方程的开展趋势随着物理学研究现象的广度和深度的拓展，偏微分方程的运用围就更加的广泛。我们从数学自身的角
