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1、第七篇 立体几何与空间向量专题 7.01 空间几何体的结构特征、表面积、体积【考纲要求】1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2. 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图，能识别上述三视图所表示 的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图3会用平行投影方法与中心投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形 式4.了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式【命题趋势】空间几何体的结构特征、三视图、直观图、表面积和体积在高考中每年都会考查，主要考查几何体的三视 图及已知几何体的三视图
2、求几何体的表面积和体积【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.【素养清单 基础知识】1空间几何体的结构特征(1) 多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平仃于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台(2)旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形矩形一边所在的直线圆锥直角三角形一直角边所在的直线圆台直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直线或等腰梯形上下底中点连线所在的直线球半圆或圆直径所在的直线2.空间几何体的三视图和直观图(1) 三视图的名称
3、几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图(2) 三视图的画法 在画三视图时，重叠的线只画一条，可见的线要画成实线，不可见的线要画成虚线. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图.(3) 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 原图形中X轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，X轴、y轴的夹角为45。或135。，z轴与x轴和y轴所在 平面垂直. 原图形中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍然分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图 中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.3. 空间几何体的表面积与体积名称几何体表面
4、积体积柱体(棱柱和圆柱)S=S +2S表面积侧底V=Sh锥体(棱锥和圆锥)S=S +S表面积侧底1V=3Sh台体(棱台和圆台)S=S +S +S表面积侧上下V=3(S上+S下+込上S下)h球S=4nR24V=3nR34. (1)球的任何截面是圆面；(2) 球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面(3) 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r= R2-d2.【素养清单常用结论】1. 常见旋转体的三视图(1) 球的三视图都是半径相等的圆.(2) 底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形.(3) 底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形.(4)
5、 底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形.2. 斜二测画法中的“三变”与“三不变”坐标轴的夹角改变，“三变”与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，、图形改变.平行性不改变，“三不变”与x轴和z轴平行的线段的长度不改变， 相对位置不改变.【真题体验】1.【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh,其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cm3）是A158B162C182D324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，
6、底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下（2 + 64 + 6 J / “底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为zx 3 + x 3 x 6二162.V 22 丿故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积 常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还 原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.2.【2019年高考全国III卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCD - A1B1C1
7、D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为 所在棱的中点，AB = BC = 6 cm, AA1 = 4 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制 作该模型所需原料的质量为g.【答案】118.81【解析】由题意得，S二4X6-4yx2x3二12cm2四边形EFGH21四棱锥 O EFGH 的高为 3cm, V=x12x 3 二 12cm3O - EFGH 3又长方体ABCD - AB CD的体积为V = 4x6x6 = 144cm3所以该模型体积为V二V - V二144 -12二132cm3，其质量为0.9x 132二118.8
8、g2 O - EFGH【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求 解根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即 可.3. 【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为答案】 40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱MPD A】-NQC B之后余下的几何体，1则几何体的体积V二43 -丄x(2 + 4)x 2 X 4二40.2【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何
9、体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中 等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的 位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等 积法、分割法、补形法等方法进行求解4. 【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为J2的正方形，侧棱长均为5 .若圆柱的一个底 面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为n【答案】-【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为叮5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为 V；5-1 二 2
10、.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高1为1，圆柱的底面半径为2(1 故圆柱的体积为n彳Jx1 =-【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.5.【2019年高考江苏卷】如图，长方体ABCD -AiBiCiDi的体积是120, E为Cq的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是丄DiCi【答案】10【解析】因为长方体ABCD -的体积为120,所以AB -BC - CC二120 ,1因为E为CC的中点，所以CE = - CC1由长方体的性质知CC1丄底面
11、ABCD所以CE是三棱锥E - BCD的底面BCD上的高，1 11 11 1所以三棱锥 E BCD 的体积 V = x AB - BC - CE = = x AB - BC - CC =x 120 = 10 .3 23 22 1 12【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理 清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得 三棱锥的体积.6.【2019年高考全国II卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形
12、状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两 种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有个面，其棱长为（本题第一空2分，第二空分） 1图2【答案】26,2 1【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8 个面，所以该半正多面体共有18 + 8 = 26个面.如图，设该半正多面体的棱长为x,则AB = BE m，延长CB与fe的延长线交于点G,延长BC交正方 体的棱于H，由半正多面体对称性可知，HBGE为等腰直角三角形
13、， BG 二 GE 二 CH =斗GH 二 2罟 x + x 二忑 + l)x 二1x =、；2 12 +1即该半正多面体的棱长为(2 1【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单稳中求胜是关键立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形【考法拓展 题型解码】考法一 空间几何体的结构特征解题技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧(1) 把握几何体的结构特征，多观察实物，提高空间想象能力(2) 紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型(3) 通过反例对结构特征进行辨析【例 1】 (1)
14、给出下列命题： 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的个数是()A0B1C2D3【答案】C【解析】不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，因为两个过 相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，由棱台的概念可知.(2)以下命题： 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()A0B1C2D3【答案】 B【解析】由圆台的定义可知错误，正确；对于命题，只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一 个圆锥和一个圆台，不正确.考法二 空间几何体的三视图和直观图归纳总结(1) 由实物图画三视图或判断选择三视图，需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则由三视图还原实物 图，要遵循以下三步：看视图，明关系；分部分，想整体；综合起来，定整体.(2) 解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系记
