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1、直流电动机的鲁棒H 0控制设计一、引言直流电动机在整个电力拖动应用中，占有十分重要的地位。相对于交流电动机，直流电 动机的调速性能更为优越，在大范围、高精度调速要求的应用中，成为首选。因此，研究直 流电动机的调速具有十分重要的意义。由于电机的参数和模型受到其应用环境的影响，常规 的PID控制在电机参数发生变化的时候，将变得不可靠。文中将鲁棒控制技术应用到电机 调速系统中，可有效地避免电动机模型及外加载荷的变化对系统的影响，增加系统的可靠性。文中设计了鲁棒控制器，给出了直流电动机的数学模型，并将设计的鲁棒控制器应用在 直流电动机模型上，对其进行了计算机仿真实验，给出了仿真结果。二、鲁棒hg控制器
2、的设计1、鲁棒H g控制鲁棒Hg控制理论是在Hg空间通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性 能控制器的一种控制理论。Hg范数为矩阵函数F(s)在开右半平面的最大奇异值的上界， 其物理意义是它代表系统获得的最大能量增益。近年鲁棒Hg控制方法得到迅速发展，特 别是对模型具有不确定性及干扰能量为有限信号的系统，应用Hg控制理论设计的控制器 进行控制，使系统具有很强的鲁棒性。2、系统的能控性和能观性研究能控性和能观性是控制器设计中比较基本的一步。(1) 状态能控性状态能控性的含义是系统控制输入卩(t)支配状态变量x (t)的能力。状态能控性的定义：如果对任何初始状态x(0)= X任何时间t a
3、 0，和任何最终状态0 1X，存在着一个输入pC )使X ()= X成立，则动态系统X = Ax + Bu是状态可控。反之，1 1 1则系统的该状态不能控的。若全体状态变量X (t)均满足要求，则称为系统是完全可控的。能控性判据：系统可控的充分必要条件是Q = (B AB A2 B . An j B )c的秩为n，n是状态个数。(2) 状态能观性状态能观性的含义是系统控制输出y(t)支配状态变量x(t)的能力。状态能观的定义：如果对任何时刻t a 0，输入信号yC)和在)之间的输入y (t),1 1初始状态x(0)= x能被确定，则动态系统x = Ax + B卩,y = Cx + D卩，是状态
4、能观的。0反之，系统是状态不能观的。若通过输出量y(t)的测量值确定所有状态变量x(t)，则系统 是完全状态能观的。状态能观判据：系统能观的充分必要条件是CA是满秩的，即秩为n。3、鲁棒控制器设计考虑由以下状态方程描述的不确定离散时间系统：2-1-x (k + 1)= a + A A lx (k )+ b + A B ly (k) + Hw (k )y (k ) = Cx (k )其中，x(k)e Rn为系统状态，y(k)w Rm为控制输入，w(k)e Rq为噪声输入，y(k)e Rp 为测量输出，A，B和C为具有适当维数的实常数矩阵，AA, AB 为具有适当维数的不确定函数矩阵，表示了系统模
5、型中的参数不确定性。假定所考虑的参数不确定性是范数有界的，且具有以下的形式AA, AB = DFe1其中，d，E和E 是适当维数的已知常数矩阵，它们反应了不确定性的结构信息,1 2F e Ri j是一个未知矩阵，它可以是时变的，且满足FtF I。目的就是设计一个状态反馈控制律2-2y(k )= Kx (k )使得闭环系统2-2是渐近稳定的，且具有扰动抑制率为丫的H性能指标，即:j(k)=f yG2-r21wG2y0 匸0(丿引理i对于给定的常数丫和系统|x(k(+)1 )= Ax(k)+ BwV，以下条件是等价的。 y k )= Cx k )+ Dw Ik )(1) 系统2-1是渐近稳定的，且
6、系统的EE增益Ay r ；ee(2) 存在一个对称矩阵P A 0，使得A B TP 0一 A B 一P0 -y八a,2L C DL 0 1JC D0 r 21引理2给定适当维数的矩阵Y、D和E,其中Y是对称的，则Y + DFE + EtFtDt y 0对所有满足F T F I的矩阵F成立，当且仅当存在一个常数 a 0，使得Y + D Dt + -1 ET E y 0。以下定理给出了状态反馈H控制律的存在条件。+ dDt+ BW )Ht00AX + BW-X0E x + E w1 2Ch000(E 1X + E W 丄2Ctr 2100y 00 I000I1。成立。如果存在可行解(，X , W
7、)，那么状态反馈增益为K = W X定理1对于给定的扰动抑制率r ，系统2-1存在一个状态反馈hg控制律，当且仅当存在 对称正定矩阵X、矩阵W和标量 A 0，使得以下矩阵不等式证明：选取李雅普诺夫函数，V ( )= xT ( )Px ()其中，P为对称正定矩阵。则其差分方程为A V (k )= XT ( + 1 )Px (k )=0 TP QHtp qQ T PH 】x(k )_ H T PH w (k )2-5其中，Q = A + BK + A A + A BK。考虑性能指标y (k)-Yx G) q021 |w (k )TP0 _0H 一P0 一x (k )_0IC00Y 21w (k )
8、2丿-A V (k)2-6由引理1可知，系统2-1是渐进稳定的，且有系统的EE增益AY Y，当仅当以下不等式ee成立由式2-7可得0 _0H 一P0 -YIC00 Y 212-7-p + CT c-Y 2+ q2-8由Schur补引理可得-P + CTC2-9Ht由于0 = A + AA +（B + B）K，则式2-9等价于(A + BK )HtA + BKHD 一P + CTC0+00-Y 210F0】+0 IfD T02-10由引理2可知，式2-10对所有满足F tF 0，使得Ht-Y21-1 b E+ E 2 K应用Schur补引理可得式2-11等价于D T I IT0E + E k1
9、2CA + BK(E1+ E 2 K00Ct2-12对式2-9分别左乘和右乘diag可得-P-1+DDt、-1丿aP-1+bkP-1p-1+BK p-P-1Ht0E P-1+E kP-11 2cP-101P-1+E 2 Kp-100一l2-13-P -1A + BK(A + BK ) -P + Ctc令x = P -1, W = KX，就可以得到式2-4.2-14基于这个充要条件，可以得到系统存在一个状态反馈最优H控制器的充要条件min p-X + D D T(AX + BWAX + BWHt0E x + E w1 2C(E1X + E 2W00Ct2-15则最优扰动抑制率就是、,p。三、直流
10、电动机的数学模型Armature Res i stance -IVcitoncrririC-iiTcrjl?t i MotorlorqueAnn Htu rein du duncem (ii-ouTid(JndiicijdVcjItdge6-Speech(t)- Ri (t)-图3-1di ()L 卩dt3-1电机的反向感应电动势为:卩(t )= k w (t)3-2ind电机的电磁转矩为:3-3电机转速为:dw (t) T (t)3-4dt模型方程为:di (t)dt-Ri(t)- kuw(t)+ 丄U (t) LLLu wL3-53-6dw () k .()dt J式中，R-电机电阻；l-
11、电机电感；J-转动惯量；k -反向电动势常数；k -电磁转矩常数。ut取X = w C ), X = i()得电机的状态空间方程：1 2LRr o)x + 丄 U ()cI L丿四、实验仿真与结果分析下面给出一个已知的数学模型为x (t )=10.39x (t)+(t)3.852020_ 0.88970.4216 _0.5732 _ 0.5_ 0.1 -A =,B =,H =,D =0.15620.07810.81160.30.1考虑模型的不确定性和外部扰动，以采样周期T = 0.1 s，进行离散化得模型参数为k e0.5 sin (k ),c = 11 0,E = b.10,10,其他s ,
12、2 s o用mincx求解优化问题2-14、2-15，可得最优扰动抑制率丫= 0.5051，状态反馈增益为K = W X -1 = 1.5522 0.7355 其状态轨迹如图4-1所示012345 STimefk)S 910O-2-34由图可知，系统的各状态变量都能在有限的时间内趋于稳定。直流电动机的速度和电流 都能在3秒之内趋于零，故对电动机的鲁棒控制具有良好的控制性能。五、结论通过本次课程设计的学习，对鲁棒控制的设计方法有了深入的了解，对直流电动机的数 学建模也有了初步的认识，对MATLAB这一非常有用的工具有了进一步的熟悉和运用。实 验结果也表明鲁棒控制对直流电动机也有很好的控制性能。参考文献1 俞立.鲁棒控制一线性矩阵不等式处理方法.清华大学出版社.20022 李炯.面向对象的发动机建模与仿真研究.华北工学院动力机械及工程学院.2003
