广东省华附、省实、广雅三校2011届高三广州一模后联合适应性考试(数学理)

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1、2011届华附、省实、广雅三校广州一模后联合适应性考试 理科数学 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1设集合 ( ) ABDCD.2已知函数,若,则( )A BCD3.下列命题不正确的是A如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直;B如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行;C如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直;D如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行4.xxy11B.xy11A.xy11C.y11D.OOOO函

2、数的图象的大致形状是 ( )5. 设A1、A2为椭圆的左右顶点,若在椭圆上存在异于A1、A2的点,使得,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、6在直三棱柱中,. 已知与分别为 和的中点,与分别为线段和上的动点(不包括端点). 若,则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 7. 袋内有8个白球和2个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1个白球,则第4次恰好取完所有红球的概率为 A. 0.0324 B.0.0434 C8.任意、,定义运算,则的A.最小值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最大值为二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分。本大

3、题分为必做题和选做题两部分(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答。开始否输出结束图1是9. 若框图(图1)所给程序运行的结果,那么判断框中可以填入的关于的判断条件是_ _10. 已知定义域为的函数满足,若成等差数列,则的值为 11. 若对一切R,复数的模不超过2,则实数的取值范围为 . 12.设O点在内部,且有,则的面积与的面积的比为 . 13. 记集合,将M中的元素按从大到小顺序排列,则第2005个数是 . (二) 选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计前一题的得分14(几何证明选讲选做题)如图,半径为2的O中,为的中点,的延

4、长线交O于点,则线段的长为_.15(坐标系与参数方程选做题)曲线C的极坐标方程,直角坐标系中的点M的坐标为(0,2),P为曲线C上任意一点,则的最小值是 . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题12分)已知(其中)的最小正周期为.(1) 求的单调递增区间;(2) 在中,分别是角的对边,已知求角.17.(本小题满分12分)在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序(序号为1,2,7),求:(1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.18.(

5、本小题14分)如图2,在四面体中,且图2(1)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值;(2)求二面角的平面角的余弦值.19.(本小题14分)在平面直角坐标系xoy中,给定三点,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。()求点P的轨迹方程;()若直线L经过的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围。20.(本小题14分)已知是方程的两个不等实根,函数的定义域为。()求;()证明:对于,若 。21.(本小题14分)(I)已知数列满足 ,满足, ,求证:。(II) 已知数列满足:a=1且。设mN,mn2,证明(a+)(m-n+1)2011届华附

6、、省实、广雅三校 广州一模后联合适应性考试数学试题(理科)参考答案和评分标准一、选择题:(每题5分,共40分)题号12345678选项DBCDDABB二、填空题(每题5分,共30分)9 102或3 11 123 13 14 15. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.解:(1) 2分 4分故递增区间为 6分(2)即或又故舍去,. 9分由得或,若,则.若,则. 12分注意:没有说明 扣两分17.解:(1)设表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可能性事件的概率计算公式得.4分(2)的可能取值为,5分

7、 8分从而的分布列为01234510分所以,. 12分18.解法一:(1)在平面内作交于,连接.1分 又,。取为的中点,则 4分 在等腰中, 在中, , 4分 在中, , 5分 8分 (2)连接 , 由,知:. 又, 又由,.又,又是的中点, 为二面角的平面角 10分 在等腰中, 在中, , 在中, . 12分 14分解法二:在平面中,过点,作交于,取为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系 (如图所示) 1分则 为中点, 2分 设 . 即,. 6分所以存在点 使得 且. 8分(2)记平面的法向量为,则由,且,得, 故可取 10分又平面的法向量为 . 11分. 13分二

8、面角的平面角是锐角,记为,则 14分19.解:()直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设,即,化简得点P的轨迹方程为圆S: 5分()由前知,点P的轨迹包含两部分圆S: 与双曲线T:的内心D也是适合题设条件的点,由,解得,且知它在圆S上。直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 8分(ii)当时,L与圆S有两个不同的交点。这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:情况1:直线L

9、经过点B或点C,此时L的斜率,直线L的方程为。代入方程得,解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 11分情况2:直线L不经过点B和C(即),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解,消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是或解方程得,解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围。 14分20.解:()设则又故在区间上是增函数。 3分 6分()证: 9分.15分,而均值不等式与柯西不等式中,等号不能同时成立, 14分21.证明:(I)记 ,则 。 2分而。 4分因为,所以。 5分从而有 。 又因为,所以,即。从而有 。 6分 由(1)和(2)即得 。 综合得到 。左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 7分 (II)不妨设即与比较系数得c=1.即又,故是首项为公比为的等比数列,故 10分这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证,当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时,等号成立。设下面先研究其单调性。当n时, 12分即数列是递减数列.因为n2,故只须证即证。事实上,故上不等式成立。综上,原不等式成立。 14分

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