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1、新课标第一网（）-中小学教学资源共享平台初三数学直线与圆的位置关系 切线及三角形内切圆知识精讲一. 本周教学内容： 直线与圆的位置关系，切线及三角形内切圆学习目标 1. 直线为，O的半径为r，圆心到直线的距离为d。 （1）直线与O相离无公共点； （2）直线与O相切，唯一公共点； （3）直线与O相交，两公共点。 注意：由直线与圆的位置关系数量关系 反之，数量关系位置关系； 直线与圆的位置关系，d，r数量关系，公共点个数三者互相转化。 2. 重要公式： 在RtABC中，C90，CD是AB边上的高，则： 即：ACBCABCD（是求斜边上高的常用方法） 3. 切线的判定方法 定义法（不常用），即：唯一
2、公共点； 数量关系推理法，即； 判定定理：垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。 4. 切线的性质： 与判定均为互逆定理； 其中性质定理及推论要熟练掌握。 实际上垂直于切线；经过切点；经过圆心；任意知道两个就能推出第三个。 5. 作图：作和已知三角形各边都相切的圆。 关键找内心，（各内角平分线交点）和半径。 6. 与三角形各边都相切的圆叫三角形内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。 与多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。 7. 三角形的内切圆、圆心是角平分线交点，半径是圆心到三边的距离。 三角形的外接圆，圆心是三边中垂线交点，半径是圆心到三个顶点的距离。 例1. 已知半径
3、为3的O上一点P和圆外一点Q，如果OQ5，PQ4，则PQ和圆的位置关系是（ ） A. 相交B. 相切 C. 相离D. 位置不定 解：OP3，PQ4，OQ5， ， OPQ是直角三角形，且OPQ90， PQOP。 即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。 PQ和圆的位置关系相切，故选B。 点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 例2. 在ABC中，C90，B30，O为AB上一点，AOm，O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆： （1）相离；（2）相切；（3）相交。 点悟：要判定
4、直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。 解：如图所示，过O作ODAC垂足为D， ， （1）当，即，也即时，则AC与O相离； （2）当，即，也即时，AC与O相切； （3）当，即，也即时，AC与O相交。 例3. 已知：在ABC中，AD为BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且BCAE，FE：FD4：3。 求证：AFDF； 证明：AD平分BAC， BADDAC。 BCAE，BADBDACCAE ADEBADB， ADEDAE， EAED DE是半圆C的直径， DFE90 AFDF 例4. 已知O中，AB是直径，过B点作O的切
5、线，连结CO，若ADOC交O于D，求证：CD是O的切线。 点悟：要证CD是O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。 证明：连结OD。 ADOC， COBA及CODODA OAOD，ODAOAD COBCOD CO为公用边，ODOB COBCOD，即BODC BC是切线，AB是直径， B90，ODC90， CD是O的切线。 点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。 例5. 如图所示，ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，O与腰AB相切于点D。 求证：AC与O相切。 点悟：显然AC与O的公共点没有确定，故用“dr”
6、证之。而AB与O切于D点，可连结OD，则ODAB。 证明：连结OD、OA。过O作OEAC，垂足为E。 ABAC，O为BC的中点， BAOCAO 又AB切O于D点， ODAB，又OEAC， OEOD， AC与O相切。 点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“dr”。 例6. 已知O的半径OAOB，点P在OB的延长线上，连结AP交O于D，过D作O的切线CE交OP于C，求证：PCCD。 点悟：要证PCCD，可证它们所对的角等，即证PCDP，又OAOB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。 证明：连结OD，则ODCE。 EDAODA90 OAOB AP90， 又OAOD， ODAA，
7、PEDA EDACDP， PCDP，PCCD 点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。 例7. 在ABC中，A70，点O是内心，求BOC的度数。 点悟：已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是ABC、ACB的平分线。 解：在ABC中，A70， O是ABC的内心 。 例8. ABC中，ABAC5，BC6，求ABC的内切圆的半径长。 解析：过点A作ADBC于D，则AD为ABC的平分线。 设I为ABC的内心，内切圆I分别切三边于D、E、F，则I在AD上， ABAC5，BC6， AD4 连结IE，则IEAC，设I半径为x， 即 解得 例9. 任意ABC中内切圆I和边
8、BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，求证：DEF是锐角三角形。 证明：如图所示，连结FI、EI， I与AB、AC切于点F、E IFAIEA90 ， EDF为锐角。 同理可证DFE、DEF都是锐角。 DEF是锐角三角形。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题： 1. 已知O的半径，直线l与圆O的距离，则直线l与圆的位置关系（ ） A. 相交B. 相切 C. 相离D. 位置不确定 2. 已知O的半径，直线l和点O距离为d，如果直线与O有公共点，那么（ ） A. B. C. D. 3. AB是O的切线，下列条件能判定ABCD的是（ ） A. AB与O相切于直线CD上的点C B. CD经过圆
9、心O C. CD是直线 D. AB与O切于C，CD过圆心O 4. 已知AB是O的直径，CB与O切于点B，AC2AB，则（ ） A. ACB60B. ACB30 C. ACB45D. BAC30 5. 等边三角形外接圆半径、内切圆半径及三角形高的比是（ ） A. 2：1：3B. 3：2：4 C. 3：2：3D. 1：2：3二、填空题： 6. 已知O的直径为12cm，如果圆心O到直线l的距离为5.5cm，那么直线l与O有_个公共点。 7. 过圆上一点可作圆的_条切线，过圆外一点，可作圆的_条切线，过_点，不存在圆的切线。 8. 在O中，AD是直径，AB是弦，过点D作切线交AB的延长线于C，如果AB
10、BC，则ADB_。 9. 在ABC中，AB5，BC12，AC13，则此三角形的内切圆的半径_。 10. I为ABC的内心，A60，则BIC_。三、解答题： 11. 已知等边ABC的边长为2，以A为圆心，以r为半径作圆，当r为何值时A与BC相交？ 12. 如图，已知AD为O的直径，BC与O相切于点D，AB、AC分别交O于E、F，求证：AEABAFAC。 13. 如图，在O上，以O为圆心的圆交O于A、B，O的弦OC交O于D，求证：D为ABC的内心。参考答案一、选择题： 1. A2. B3. D4. B5. A二、填空题： 6. 两7. 1，2，圆内 8. 459. 210. 120三、解答题： 11. 作ABC的高AD，求出 当时，A与BC相交 12. 证明：连结EF、ED 13. 连结OA，OB，AD O中， 点D为ABC的内心。新课标第一网-免费课件、教案、试题下载
