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1、1.4 三角函数的图象和性质教学目的：（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法;2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法;3.理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法.（二）1.理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;2.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;3.会求简单函数的奇偶性.（三）1.理解并掌握作正切函数和余切函数图像的方法;2.理解并掌握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法;3.掌握正切函数的性质和性质的简单应用;4.会解决一些实际问题.教学重点：1.用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象
2、;2.正、余弦和正切函数的性质.教学难点：1.用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象;2.正、余弦和正切函数性质的理解与应用.教学过程：一、复习引入：1.弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为弧度的角.2.正、余弦函数定义：设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点,与原点的距离()则 比值叫做的正弦 记作比值叫做的余弦 记作比值叫做的正切 记作3.三角函数线: 根据正弦,余弦,正切的定义,则有 ,这三条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的正弦线,余弦线,正切线. 当角的终边落在轴上时,与重合,与重合,此时正弦线,正切线分别变成一个点;当角的终边在轴上时,与重合,余弦线变成一个点,
3、过的切线平行于轴,不能与角的终边相交,所以正切线不存在,此时角的正切值不存在.二、讲解新课：(一)正弦函数、余弦函数的图象1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.正弦函数的图象第一步,在直角坐标系的轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与轴的交点起把圆分成(这里)等份.把轴上从到这一段分成(这里)等份.(预备：取自变量值弧度制下角与实数的对应).第二步,在单位圆中画出对应
4、于角,的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与轴上相应的点重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).第三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数,的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为,就得到,的图象. 把角的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与轴上相应的点重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数的图象.余弦函数的图象用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角的余弦线“竖立”.把坐标轴向下平移,过作与轴的正半轴成角的直线,又过余弦线的终点作轴的垂线,它与
5、前面所作的直线交于,那么与长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线“竖立”起来成为,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移,使起点与轴上相应的点重合,则终点就是余弦函数图象上的点.也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角的余弦线按逆时针方向旋转到位置,则与长度相等,方向相同.)根据诱导公式,还可以把正弦函数的图象向左平移单位即得余弦函数的图象.正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数,的图象中,五个关键点是:余弦函数,的图像中,五个关键点是:只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度
6、不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.(二)正弦函数、余弦函数的性质1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以,即也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值余弦函数当且仅当时,取得最大值当且仅当时,取得最小值3.周期性由知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的
7、周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性由可知:()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性正弦函数的对称中心是,对称轴是直线;余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性从的图象上可看出:当时,曲线逐渐上升,的值由增大到当时,曲线逐渐下降,的值由减小到结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到
8、;正弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.和的图象和性质(表中)函数图象定义域值域最值当,当,当,当,奇偶性奇函数偶函数对称中心对称轴最小正周期单调性递增递减递增递减(三)正切函数的图象和性质1.正切函数的图像在区间内作出函数图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数,且的图像,称“正切曲线”.2.正切函数和余切函数的性质(1)定义域:(2)值域:(3)周期: 的周期为(最小正周期) (4)奇偶性:正切函数是奇函数 由诱导公式,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函
9、数的图像关于原点对成. (5)对称性:对称中心是,特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与轴的交点,另一类是渐近线与轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处. (6)单调性:由图像可知,正切函数再区间内都是单调增函数.三、讲解范例：(一)图象问题例1 画出与两函数的图象,观察两曲线的平移关系.解: 略例2 作下列函数的简图: (1), (2) (3）解: 略例3 用五点法作函数的简图,并求其与直线交点个数.解: 略例4 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的的集合: (1) (2)解: 略例5 求下列函数的定义域: (1) (2) (3)解: 略补
10、充例题： (1)函数图象的对称轴是 _;对称中心是 _. (2)函数图象的对称轴是_ ;对称中心是 _.(3)函数图象的对称轴是_ ;对称中心是 _.(4)函数与的图象关于_对称.(填一种情况即可)(5)方程的根的个数为( ) A. B. C. D. (6)用五点法作函数的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是( ) A. B. C. D.(二)定义域、值域问题例1 求下列函数的定义域:(1)(2)(3)求下列函数的值域:(1)(2)(3)解: 略例2 求使下列函数取得最大值的自变量()的集合,并说出最大值是什么;若呢？(1); (2)解: 略例3 已知函数的定义域为,值域为.求的值.解: 略例
11、4 求函数的最大值.解: 略例5 (1)已知(),求的最大值和最小值.(2)求的最大值和最小值.(注:,)解: 略(三)周期性、奇偶性问题例1 判断下列函数的奇偶性:(1)(2)()(3)(4)解: 略例2 (1)已知,且,求.(2)若为奇函数,且当时,求当时,的解析式.(3)若函数是偶函数,求的值.解: 略例3 求下列三角函数的周期,并探究其结.(1) (2)(3) (4)解: 略点评: 一般地,函数及函数(其中、为常数,且,)的周期.例4 (1)求函数的周期.(2)求函数的周期.解: 略例5 求下列函数的最小正周期: (1) (2) (3)解: 略例6 (1)已知是周期为的周期函数,且,求
12、. (2)已知奇函数是上的函数,且,求.解: 略例7 是定义在上的偶函数,其图象关于对称,对任意的, 都有.(1)设,求;(2)证明:是周期函数.解: 略例8 (1)若函数()的图象关于直线与()都对称,求证:是周期函数,且是它的一个周期;(2)若函数()满足(常数),求证:是周期函数,且是它的一个周期.解: 略(四)单调性问题例1 求下列函数()的单调区间:(1) (2) (3) (4) (5) (6)解: 略例2 求下列的单调递增区间:(1) (2)解: 略例3 不通过求值,比较下列各式的大小:(1), (2),(3), (4),解: 略例4 求函数,的单调增区间.解: 略例5 已知.(1
13、)求的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性、周期性;(3)判断的单调性.解: 略 (1), (2)奇函数,周期函数 (2)增区间:;减区间:(五)正切函数的图象和性质例1 讨论函数的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性)解: 略例2 (1)用描点法作函数的图像. (2)作出函数的图像,并根据图像求其单调区间. (3)作出函数且的简图.解: 略例3 不通过求值,比较下列各组数的大小.(1),(2),(3),解: 略例4 解不等式.解: 略例5 求下列函数的定义域(1) (2) (3)解: 略例6 求函数的值域.解: 略思考：如果,结果又如何？例7 证明：如果,那么必有.证明: 略例8 (1)求函数的定义域、值域,并指出其周期性、奇偶性、单调性. (2)求函数的定义域、值域和周期,并作出它在区间内的图像.解: 略例9 试讨论函数的单调性.解: 略例10 若的最大值是,最小值是,求函数的最小正周期.解: 略例11 已知函数的图象与轴相交的两个相邻点的坐标为和,且经
