概率论与数理统计讲义稿子

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1、第一章 随机事件与概率1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母。称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母和表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果

2、就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽管这在有3种结果的样本空间是不对的。例1.1.1 ：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。在抛掷硬币这一

3、试验中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间简化为：=正面,反面。：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出现的点数。样本空间为：。: 掷两枚硬币（或者观察两个零件或两个电子产品），可以得到=（正面，正面）、（反面，反面）、（正面，反面）、（反面，正面) 读者可以将其推广到掷n个硬币，样本空间里有多少样本点呢？：再复杂一些，一名射手向某目标射击，直至命中目标为止，观察其命中目标所进行的射击次数。从理论上讲，只要不能击中目标,射手就必须一直射下去，故样本空间

4、为，其中含无穷多个样本点。这也适用于商品销售，假设商场可以无限量地销售某种商品，每天销售的该商品数的样本空间为。 ：在人类学研究中“随机抽取一个人”并测量他的身高和重量，电梯设计师能利用这些资料设计电梯的空间和载重，对于中国人，身高（单位：米）的样本空间取就足够了，体重（单位：公斤）的样本空间取也许就足够了。在大部分实际的设计问题中，设计师有时会同时考虑电梯使用者的所有可能的身高和体重，更具体地说，设计者通常会对同时提供了可能使用者身高和体重的结果感兴趣。因此，样本空间是。 1.1.2 随机事件随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母记之。1.1.3 事件与集合的对应以及它们的运

5、算通常用希腊字母表示样本空间, 表示样本点。称“是的成员”或者“属于”，或者“是的元素”，记为.如果不是试验的一个可能结果，那么不是的元素，则记为.一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本点）在试验中出现。用表示事件是的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合等都是的子集，而不再每次申明。1. 事件的包含集合的包含集合即“包含于”，意为中元素都在中，或说，如果，必有。对应于事件，表示的样本点都在中，即当的样本点出现于试验结果之中，即发生时，当然也就发生了，

6、或说“的发生必导致的发生”。图1.1 的文氏图2. 事件的相等集合的相等称集合A和B相等，并记为，是说“且”。对应于事件，称A和B相等，记为，就是“如果发生，则必然发生，同样如果发生，则必然发生”。相等的事件含有相同的样本点。3. 事件的并（和）并集集合A和B的并集记为,它的元素或者属于，或者属于（当然有的可能同时属于A和B），即。对应事件的并表示“或至少有一个发生”。图1.2 的文氏图并的概念可以推广到个事件和可数个事件,的并表示“中至少有一个发生”；可数个事件的并表示“中至少有一个发生”。4. 事件的交（积）交集两个集合A和B的交集记为，它是由既属于A又属于B的元素构成的集合，即对应于事件

7、的交表示“A和B同时发生”。常简记作。图1.3 的文氏图类似地，交得概念也可以推广到个事件的交,表示“个事件同时发生”，可数个事件的交表示“可数个事件同时发生”。5. 逆事件（对立事件）补集的子集A的补集记为，它是由属于但不属于A的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于（样本空间）的点，集合就是由那些不属于A元素组成的。记为图1.4 的文氏图对应于事件，发生当且仅当不发生时发生，称作事件的逆事件。利用上述事件的并和交的运算符号，有 及 6. 事件的差差集集合与的差集由中那些不属于的元素全体组成。对应地，事件的差表示“发生而不发生”即。图1.5 的文氏图7. 互斥（或不相容）事件不交集在集合论中,若,

8、则表明,没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若，则表明，不同时发生，称与互斥（或不相容）。图1.6 的文氏图8. 必然事件和不可能事件样本空间和空集 有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出是它自身的子集，从包含关系的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此。又假设存在集合，该集合不包含任何元素（空的集合），必定是每一个集合的子集，对任何子集，要从中找到一个元素不在中，显然是不可能的，因为没有元素，因此，成立。对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。注意到以下等式总是成立的上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。与集合运算一样

9、，事件的运算亦有如下的运算律：1交换律：，；2结合律：，；3分配律：，；4对偶律：，。上述运算律亦可推广到任意有限个或可列个事件的情况。例如，对个事件有分配律，对偶律留给读者自行写出。图1.7 个事件的关系图对可列个事件的分配律也留给读者，此处给出有对偶律及为帮助读者熟悉事件的运算。以三个集合为例，A、B和C的并集，如图1.8的文氏图是有用的。根据图1.8，请读者检验这些等式：图1.8 三个事件的关系图 例 已知一批机器螺钉中含有许多次品，随机抽取三个并检验。令分别表示其第一、二、三次所抽到的螺钉是次品的事件。试用及其运算表示下列事件：（1）第三次抽到正品；（2）只有第三次抽到次品；（3）恰有

10、一次抽到次品；（4）至少有一次抽到次品；（5）不止一次抽到次品（或至少抽到两个次品）；（6）没有抽到次品。解 （1） （2） （3）（4） （5） （6）. 1.2 概 率1.2.1 频率与概率 定义1.2.1 称在相同条件下所做的次试验中事件发生的次数为发生的频数，并称比值为事件发生的频率，记作定义1.2.2 在相同条件下所做的次试验中，当时，事件发生的频率稳定在某个常数附近。称此常数为事件发生的概率，记作1.2.2 概率的公理化定义定义1.2.3 设试验的样本空间为。对于中每一个事件都赋予一个实数，它具有以下三条基本性质：1. ；2. ； 3. 如果 是中任意一列两两互斥的事件，无论有限或

11、无限，如果表示事件“至少出现一个”，则 或表示为，则称实数为事件的概率。利用概率的三条基本性质可以推导出概率的其他性质。4. 。证 因，故由基本性质2及3有，移项即得。 5. 不可能事件的概率为0，即。证 因，由基本性质3有再由性质1得。 注 空集的概率为0，它被称之为不可能事件。但要注意的是这并不是意味着一个概率为0的事件A必须是“不可能”或者等于。将在后面举例说明。6. 有限可加性：若事件两两互斥，则证 因，故，再由性质3和5即得。 注 本性质从概率的可数可加性导出了有限可加性。7. 若，则且。证 由于，则，且与互斥，故由性质6有即。再由性质1，于是。 8.（加法定理）如果和是任何事件，不

12、必是互斥事件，则证 显然和对于每一个等式来说右端的并集中的两个事件都是互斥事件。根据性质3第二个等式给出，把它代入第一个等式就得到了要证明的结论。 可将性质8推广到个事件的情形：如果,是任何事件，不必是互斥事件，则 （1.2.3）右边的这些加和包括了单个事件、两个事件、三个事件等的所有可能的交集。证 遵循性质8的证明可以用归纳法证得，具体的细节省略，熟悉归纳法证明的读者应该没有困难的补充这些证明。 1.2.3 古典概型下面讨论一类在概率论发展初期讨论的最多的试验古典概型的概率计算。它适用于有限的离散概率空间的情形，并且每个样本点都以等可能出现。定义1.2.4 设试验的样本空间有有限多个样本点，

13、即，且每个样本点出现的可能性相同。称此试验为古典概型。因为样本点是两两互斥的，根据概率的基本性质2和3，在古典概型中，一方面有，另一方面，所有都相等，所以，可见每一个样本点出现的概率为所以，若事件由个样本点构成，则其发生的概率这是古典概型计算事件概率的基本公式。1.3 独 立 性1.3.1 事件的独立性1.两个事件的独立性从字面意义上说，若事件与事件的发生互不影响，称与相互独立应是恰当的。那么概率论中该如何定义事件的独立性呢？定义1.3.1 称两个事件和互相独立（或者统计意义下的独立），如果 (1.3.1)作为特殊情形，若中有一个是必然事件或不可能事件，则（1.3.1）式显然成立。这表明，任意事件都与（或）相互独立。定理1.3.2 设事件与事件相互独立，则与，与，与亦相互独立。证 以下证明与相互独立，此即和的独立性。关于事件和独立，只要交换和角色即可。类似可证关于事件和的独立性。