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1、高等数学（二）重点知识及解析、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：（1）常值函数： （2）幂函数： （3）指数函数：(0,（4）对数函数：(0, （5）三角函数：，（6）反三角函数：，二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：是由，这两个个简单函数复合而成.例如：是由，和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即。 （2）该方法的使用前提是当的时候，而时则不能用此方法
2、。例1：， 例2：例3： （非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。例1：计算. 未定式，提取公因式解：原式= 例2：计算. 未定式，提取公因式解：原式= （2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算 未定式，分子分母同时除以n解：原式 无穷大倒数是无穷小例2：计算. 未定式，分子分母同除以解：原式= 无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果=1，称
3、与是等价无穷小，记作.（2）定理：设、均为无穷小，又，且存在则= 或 （3）常用的等价无穷小代换：当时， , 例1：当时，2，例2：极限= 用2等价代换例3：极限= 用等价代换、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数在点处的导数记作：， 或 （2）函数在区间（a,b）内的导数记作：， 或 二、求导公式（必须熟记）（1） （C为常数） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）例：1、= 2、 3、=4、 5、 6、 三、导数的四则运算运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1） （2） 特别地（为常数） （3） 例
4、1：已知函数，求.解：= 例2：已知函数，求和.解：=所以= （注意：lne=1,ln1=0） 例3：已知函数，求.解：=四、复合函数的求导1、方 法 一：例如求复合函数的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即=，=2（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.=2=22、方 法 二（直接求导法）：复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数，求.解：
5、=例2：设函数，求. 解：=注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：， 或 我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：已知，求.解：=，=例2：已知，求.解：=，=2=4即=六、微分的求法：（1）求出函数的导数.（2）再乘以即可.即.例1：已知，求.解：=例2：设函数，求.解：=、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作。例如：二元函数通常记作：， 二、
6、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数，则函数在区域D内对和对的偏导数记为：， ； ，（2）设二元函数，则函数在点处对和对的偏导数记为：， ； ，； 2、偏导数的求法（1）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.（2）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.如果要求函数在点处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将和代入即可.例1：已知函数，求和.解：=，=例2：已知函数，求和.解：=，=三、全微分1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数和. （2）、然后代入上述公式即可.例1：设函数，求.解：=，=
7、 例2：设函数，求.解：=， = 四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）= 两次都对求偏导（2）= 先对求偏导，再对求偏导（3）= 先对求偏导，再对求偏导（4）= 两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.例1：设函数，求，和.解：=， =得=，=，=，=例2：设函数，求，.解：= 得=，=、一元函数的积分学一、原函数的定义：设是区间I上的一个可导函数，对于区间I上的任意一点， 都有 ，则称是在区间I上的一个原函数.例1：，因此是的一个原函数，是的导数.由于，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有
8、无穷多个.例2：设的一个原函数为，求.解：因为是的一个原函数，即=，所以=.得= （注：）二、不定积分（一）、定义：我们把的所有原函数称为在区间I上的不定积分，记作： （其中）注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数C勿忘！（二）、不定积分的性质12 （其中为常数）（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）1 2 （k为常数）3 4 5 6 7 8 9例1： 例2：（利用换元法，设）又如： （四）、不定积分的计算1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。例1：=例2：2、凑微分法（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是
9、复合函数（通常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法。（2）凑微分法解法步骤1凑微分 2换 元 3直接积分法 4反换元例1：求不定积分 解：原式= （1.凑微分）将凑成 = （2.换 元）将换元成= （3.直接积分法）求出的不定积分= （4.反换元）再用反换元 例2：求不定积分 解：原式= （1.凑微分）将凑成= （2.换 元）将换元成= （3.直接积分法）求出的不定积分= （4.反换元）再用反换元例3：求不定积分解：原式= （1.凑微分）将凑成= （2.换 元）将换元成= （3.直接积分法）求出的不定积分= （4.反换元）再用反换元注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！
10、如果能熟练掌握换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而直接进行积分。例4：= （将凑成）例5：= （将凑成）3、分部积分法三、定积分（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式 A= （A为曲边梯形的面积）其中为被积函数，为积分区间，为积分下限，为积分上限。用定积分所要注意的事项：1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导，导数值必为零。例： ， 2、当a=b时，=0因定积分上限ba，当ba时，=例：， （二）、定积分的计算1、变上限积分的计算（1）定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限的函数， 记作（2）变上限积分的导数： 将
11、代入到即可 例1：设，则.例2：2、牛顿莱布尼茨公式（1）公式：如果是连续函数在上的一个原函数，则有 =（2）由公式可知：连续函数在上定积分，就是的一个原函数在上的增量（上限值减下限值）。而连续函数的不定积分，就是的全体原函数（原函数后面加常数C）。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。例1：求定积分解：原式=例2：求定积分 （将凑成）解：原式=例3：求定积分 （将凑成）解：原式=注意：用凑微分法计算定积分时，在换元时，由于引入了新的变量，故原变量的积分限要更换成新变量的积分限;如不想更换积分限，可省略换元步骤。3、分部积分法附表：几个特殊角的三角函数值 角 度 三 角 -不存在不存在不存在不存在不存在不存在
