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1、活用等差中项巧解题安徽省灵璧县黄湾中学（234213） 华腾飞Gao_shu_大家都知道等差中项是指：若三个数a, A, b成等差数列，则称A是a, b的等差中项。设d为其公差，则a = A d, b = A + d。当所涉题目中含有或隐含上述条件时，对于此类问题如果同学们能够灵活地运用以上结论探求解题思路，不仅能迅速找到解题的切入点，而且还能避免繁杂的运算，优化解题过程，提高解题速度和效度。一 巧求函数值例1 已知实数x , y满足3x + 4y 12 = 0 , 求xy的最大值.解析 设3x = 6 + d , 4y = 6 d , 则xy = , 从而当d = 0时, xy取最大值3.例
2、2 已知a , b , x , yR+ , 且(a , b为常数) , 求S = x + y的 最小值.解析 设, , 代入, 整理得4d2 4 (a b)d + 2 (a + b)S S2 = 0 .d R , 16(a b )2 16 2 (a + b)S S2 0 , 解之得,x + y的最小值为.二 巧证条件等式例3 若a + b + c = 0 , a3 + b3 + c3 = 0 . 求证: a2013 + b2013 + c2013 = 0 .证明 由a + b = - c , 可设, 代入a3 + b3 + c3 = 0 , 整理得, c = 0或.当c = 0时, a = -
3、 b , a2013 + b2013 + c2013 = 0 .当时, a = 0 , c = - b或b = 0 , a = - c , 仍有a2013 + b2013 + c2013 = 0 .三 巧求三角函数值例4 设是三角形的内角, 且sin + cos = , 求tan的值 .解析 设, , 则有, 解之得.sin 0 , ., cos = - . 故tan =.例5 在ABC中, a , b , c分别为A , B , C的对边，设a + c = 2b , A C = , 求sinB的值.解 设A =, , 则A + C = 2d ,sinB = sin (A + C) = sin
4、 2d .又 a + c = 2b , sinA + sinC = 2 sinB , 解之得, .四 巧证不等式例6 设实数a , b , c满足a2 bc 8a + 7 = 0, b2 + c2 + bc 6a + 6 = 0. 求证: 1 a 9 .证明 由两条件式相减得(b + c)2 = (a 1)2, 则b + c = (a 1).设b = , 代入a2 bc 8a + 7 = 0, 整理的, 即(a 1)(a 9) 0 , 1 a 9 .例7 设a , b R+ , 求证：.证明 设a + b = 2S, 又设a = S d , b = S + d . 则有= = . 原不等式成立. 五 巧解方程（组）例8 解方程.解 根据方程的特征，设, , 从而有x2 + 3x +12 = (1 + d)2 , x2 x + 4 = (1 d)2 . 将前面的两式相减可得x + 2 = d .代入x2 x + 4 = (1 d)2 , 解得x = 1 .经检验知x = 1是原方程的根。例9 解方程组 解 设, , 则, 且, , 代入有, 解之得或(舍去) 或 经检验知它们都是原方程的根。
