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1、静电场电势零点选择的讨论吴树刚（河池学院物理与电子工程系物本05A班广西宜州546300）摘 要】在人们日常生活、生产和学习中，静电场电势零点是可以任意选取的，通常是选取地球或 无穷远处为零势点，这仅仅适用于分布在有限区域的特殊带电体所激发的电场。本文将结合实例由 特殊到一般进一步探讨分布在无限区域的电荷所激发的电场零势点的选取，以及探讨如何选取零势 点更有利于解决问题的具体方法。关键词】零点电势；静电场电势；有限空间；无限空间1 引言研究静电场可以从力和能两方面入手，电场强度是从力的方面描述静电场的物理 量，为了从能方面描述静电场，要引入电势这个物理量。静电场是保守场，其任意两点 之间的电势
2、差是确定的，可是场内任意一点的电势却取决于电势零点的选择。选择适当 的零点电势可以使问题简化。在平常我们一般选大地或者无穷远点为电势参考点，但是 像零点电势选择的任意性；为什么选大地、无穷远点为电势零点？还有分布在无限大区 域的带电体系能不能选无穷远点为电势零点？为什么常选U = U =0等问题，许多学 地 g 者已经做过详细的理论分析，但是结合具体实例来论证的相对比较少，本文将运用理论 结合实例的手段来对零点电势的选择做进一步的分析与讨论。2 零点电势选取的任意性在物理学中，电势就像高度和重力势能这些物理量一样，都是相对量。对于它们的 大小，我们必须要选择一个参考点以后，它们才有确切的物理意
3、义。也就是说，单独孤 立的的讨论某点电势的高低是没有意义的。对于选择不同的参考点，某点的电势可有不 同的数值。显然参考点的变化是要影响电势的分布的，但是电场却没有改变。由此，我 们可知：不同的电势可以描述同一个电场的，从而得出零点电势的选取是具有任意性的。我们在物理学上是这样定义电势U的U二J 0E -dl（ p o是参考点，p是场点）p当将参考点p 0定在P0时，上式变为U = f p0 E -dl + f po E - dlpp0=f p0 E - dl + Up0由上式说明，参考点变化时，各点电势只改变一个常量U =f po E - dlo ,po但是这并不影响电场强度E = -VU =
4、 -V （U + U o）的分布，如考虑一维则为D dUd （U + U o）drdr由于静电场电势参考点的选择具有任意性，那么能够选择适当的零势点，便能使电 势具有一个简单简洁的表达式。比如带电量为正 q 的点电荷所激发的电场，若选无穷远处为零势点，则电场中任意一点的电势为U = L E - dl =1 Jdr = q（I）rr 4ks r24ks roo如零电势选在距点电荷ra处，则电场中任意点的电势为U = f ra E - dl =Jra dr = 厶（1 丄）（2）rr 4ks r24ks r roo a两式相比较，很明显式要比式简单简洁。3 零点电势选择的受限性由以上分析我们知道，
5、零点电势的选取虽然带有一定的任意性，但也受一定条件的限制，这个条件是：零点电势一旦确定，电场中各点电势必须具有确定的值，否则无意义。限于这个条件，电势零点的选择问题便依据具体情况而定。一般来说，由一定带电体系所决定的电场，它的一般形式可以写成3)rm式中 k 是与场源电荷分布情况、场源电荷电量大小及选取单位有关的比例系数， r 是 指场点至带电体或至带电体系中心的距离， m 是为非负整数。那么电场中某一点的电势为kkdr =rm1mrm1=发散（m1） i收敛（el）从式可以看出，电势参考点的选取由m决定，下面将分三种情形讨论:3.1当m 1时，零势点的选择由式知道当m 1时，只有选取r二0即
6、零点电势选在带电体表面时式才有确定值才有意义。例1.如图1所示，是一无限大均匀带电平面的一部分，已知电荷面密度为&，求场中p 点的电势？解：已知无限大均匀带电平面的场强E为E =&280a、如选无穷远处电势为零，则f QGU = J dr =(a - r)r 282800 很显然此表达式是无意义的。b 、如选电场中有限空间任意场点 t 电势为零，则t Q Q U = Jdr = (t - r)r 282800说明U是个定值，符合选择要求。如选带电平面为零势点，则U = J0 dr =r 280Qr280说明U也是个定值，也符合选择要求，但是要比有限空间中任意场点的电势表达式要简洁。本例题是一个
7、经我们人为理想化了的物理模型，均匀带电平面两侧附近的电场又是这种理想模型的近似。这个区域按理想模型的电场去处理，不但大大简化了 问题的计算，又不致造成太大的误差。所以这个理想模型是有用的。例 2.如图 2 所示，是一对平行无限大带电平面的一部分，它们均匀带电，电荷密度分别为+ b和-Q ，相距为d，求其电场中任意一点的电势。Q解：已知电场集中在两板间的E =80a、如取带正电平面为零电势参考面，则U = J0 dr = r r 8800可以看出U是一个定值，符合选择要求。b 、如取带负电平面为零电势参考面，则r /*P+ QQ图2两平行无限大带电平面U = Jd dr = 一 (d - r)r
8、 8 800U 也是一个定值，也符合选择要求。如取带负电平面外无穷远处为零电势面，则d GGU - Jd dr =(d 一 r)r 8800这相当于选取带负电平面为零电势面一样，这是因为带负电平行板外是没有电场的，所以这部分空间的电势自然就都为零。3.2当m = 1时，零势点的选择这种情况下零势点既不能选在无穷远处，也不能选在带电体上，只能选在电场中有限空间的某一点上。E rmU J rdr klr rmnr很明显选r0 -0或r0-g时，U都没有意义，只有r0是不为零的正实数值时，U才为定值。例 3、如图 3 所示，是一无限均匀带电长直导线，电荷线密度为九，求电场中任意一点p的电势。解：已知
9、带电长直导线产生的电场强度E为E -县0a、如取无穷远点为零势点，则U为U Jgdr lr 2冗8 r2冗8 1时，零势点的选择这种情况下参考点应选在无穷远处是最好的，这样电场中任意一点p的电势U为:U J k -drrmk 1g1 m rm-1 rk1_1 m r m 1很明显U有确定的值，m必须满足m 1的条件，由此我们可以得出一个结论:带电体系分布在有限空间时，它的电场强度E应该满足rm式中的m必须满足m 1，根据电磁学知识知三种带电体激发的电场分别为 点电荷的电场E=Q(m =2)4兀s r 20电偶极子的电场E=k(m =3)r3电四极子的电场E=kr4（m =4）比较发现指数m均大
10、于1。例4、如图4所示，求点电荷Q所激发的电场所产生的电势分布?解：已知点电荷所激发的电场强度E为E=Q4兀匕r20a、如取点电荷处为零势点，则U为U =f0Q drr 4兀8 r 20=g很明显是没有意义的，因此零电势是不能选在点电荷处的。b、如取电场中某一点a为零势点，则U为U =j ra Q dr = -Q r 4K8 r24K8 I00 可以看出 U 是个定值，符合选择要求。1 丄r r 0ac、如取无穷远处为零势点，则U为U =Jg Q dr = Q r 4k8 r24k8 r00选择距离电场无穷远处电势为零，电势有确定的值，符合选择要求。但是比零势点 选在电场中某一点的电势表达式要
11、简洁。4 零势点选择的其它讨论4.1 无穷远点的电势前面我们已从三个方面比较详细的举例论证了零势点选择的一般限制，然而与生活 生产中的实际情况又存在着一些差别，我们一般是选择无穷远处或大地等为零势点。为 什么会出现这样的矛盾呢？需要说明的是，这里的“无穷远点”并非一点，而是离电荷足够远的广大空间区域， 其中任意一点都是。不难设想，在几乎一切实际的静电场中，尽管带电体系的电量不同， 分布各异，但电量总是有限的，分布范围也总是有限的。大致说来，带电体附近的电场 比较强，电势变化剧烈，距离带电体较远处的电场比较弱、电势变化和缓，距离带电体 足够远（可根据问题的精度要求，确定“足够远”的具体标准）可以
12、在物理上称之为无穷 远点的广大空间的场强为零，电势恒定的区域。对于几乎一切实际的静电场问题，都存 在着具有上述特点的无穷远点，这是它们普遍的共同点，而且我们在上述例证的过程中 我们都是假设的某种理想化的物理模型，但是在我们的实际生活当中是不存在像无限大 带电平面、无限长直带电导线等特殊带电体的。因此，把无穷远点选为电势零点，即普 遍适用又方便自然。4.2 大地电势与无穷远处电势的等效性在理论研究中，零势点的选择如上所述，我们常把零点电势选在无穷远处，但是我 们还常把电势零点选在地球上，凡接地的导体电势皆为零。这是因为地球可以近似看成 是一个导体球，相对于一般的带电导体地球可视为无限大。这么大的
13、一个导体增减一些 电荷对其电势的影响是极小的，因此，完全可以把地球看成是一个等势体。现用一个实 例来说明，假设有一带电体A和原先不带电接地导体b aB，如图5所示，对于A来说B和附近的地面是近端地球的另一侧就是远端。由于静电感应当达到静电平衡的时候，B的右侧就会产生感应电荷，同时地球远离A的 远端也有等量同种电荷。由于地球的线度和曲率半径远比A、B的大，据电磁学实验表明带电体曲率半径越 小，其电荷面密度和电场强度的值较大；曲率半径越大，图5静电平衡时的两导体其电荷面密度和电场强度的值较小。所以我们可以肯定地球离A的远端表面外附近的场强远小于A、B表面外附近的场强。虽然地球与无穷远点有电势差，或者说地球本身有 电势值，但与A、B附近的电势值相比是极小的。因此在研究A、B附近电势分布时，完 全可以忽略U与U的差别，近似的取地球电势值U0是允许合理的。再用一个例 地 8地子来证明这种近似的正确性：例5、有两个同心的导体球A和B, A球的半径为r， B球的内半径和外半径分别为R和12R，B球带电量为Q,且到地面的距离远大于其本身的线度，A球接地，如图6所示，请3求出B球的电势。球的近端产生与电荷Q异号的感应电荷Ri-q，由已知条件B到地面的距离远大 于B球本身的线度，可以忽略地球对带 电体系上电荷分布的影响，粗略认为QRdl
