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1、结构力学中的特征值问题孙天荣 0920020234 结构2 班 在土木工程科学研究领域中，在求解一些问题时也会遇到特征值问题。在本 科阶段就已经遇到过特征值问题多自由度体系的自由振动。为简便起见，这里只介绍只有两个自由度的自由振动体系（以下称为 2-DOF 系统）。现在研究 2-DOF 系统运动方程的解。可以按照下面的步骤来得到自由振动的解，即方程组的解。m11m21m12m22u +u211 k21(1)1 设为简谐解的形式(2a)u = U cos(t-a)(2b)11u = U cos（t-a）222 将假定解代入到运动方程中，得到代数特征值问题12 - 2k22mm1112mm2122
2、一U2(3)3 因为这是一组关于振幅 U1、U2 齐次线性代数方程。方程取得非零解的条件是系数行列式等于零。即kkmm 1 1112- o 212 1L kkL 11m 11- 21222122这是O 2的二阶多项式。4解特征方程的两个根，这些根为O 2与O 2 , O O。O和O叫做固有圆 1 2 1 2 1 2频率，或简称为固有频率（在数学中，O 2和O 2叫做特征值）。 125将o 2代回公式的第一行（或第二行，但不要两行都代）。得到 10二（U /U ）1）比。这个比规定为相应于固有频率O的固有模态，即振型。用同 1 2 1 1样的方法计算的0二(U /U )(1)。(在数学中，固有模
3、态叫做特征向量。无阻尼2 1 2 1 系统的固有模态有时叫做实模态，以区别于发生在某些线性阻尼系统中的复模 态。)至此，可以画出振型图。例题：求图 1 所表示的系统固有频率与振型。该运动方程为图1mu + 2ku 一 ku = 0*11 2mu 一 ku + 2ku = 021 2解：第1 步：设简谐解u = U cos(t-a)11u = U cos(t-a)22(aa)(ab)(ba)(bb)注意这个意思是 u1，u2具有时间相关性，并在全部时间内u2/u1=U2/U1的幅值比具有相同的值。第2步：将公式b代入公式a,得到代数特征值问题:2k 一 m3 2一 k(c)第3步：建立特征方程，
4、为公式c中矩阵系数的行列式:2k 一 m3 2-k2k 一 m32(d)展开行列式，得到(2k 一 m3 2)2 一 k2 = 0即于是，该固有（圆）频率为kW 2 =1m3kW 2 =2m(k )1/2W3k )1/2I m丿(fa)(fb)(g)注意， W 称为低频。1第5步：将公式f给出的特征值代入公式c的第一行，得到振型比:即(2k - mw 2)U - kU = 012(h)mW 20= (U /U )(i)= (2k mw2)/k = 2ii21ik因此(ia)(ib)0 二 2 -1 二 110 二2-3 = 11令U（i）二1，U=0 U（i）= 0，以此画出振型图（图2）。12i 1i图 2 振型图模态1k1/21 3k )1/22注意原系统对于中间弹簧的中心是对称的。据此，振型出现对称（模态 1） 与反对称（模态 2）。这是一个重要的结果，因为许多结构，都具有这样的物理 对称。例如，飞机通过机体轴线的垂直平面是对称的（名义上）。并注意模态 2 具有一个节点，即该点永远保持固定不变。以上给出的是最简单的结构系统，在真实的工程中，高层结构有多个集中质 量，在多个自由度振动体系中，求解振型就不可能这么简单了，必须借助数值方 法进行求解。但是总的来说，不管系统有无阻尼，双自由度还是多自由度，求解 系统振型最后都归结为数值中的求解特征值的问题。
