逐差法的原理与应用

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1、逐差法的原理与应用湖北省恩施高中 陈恩谱【论文摘要】逐差法作为物理实验中常用的一种数据处理方法，在高中大部分资料里并没有被深入阐释，从而导学致 生理解和应用困难；本文从逐差法的适用条件、操作过程和应用实例、误差分析等多个角度对逐差行法了进深 入细致的分析，有望突破这一难点。【关键词】逐差法 等差数列 纸带法 悬挂法 伏安法 实验误差高中物理中，在用纸带法测量加速度时，很多资料介绍了逐差法，但是从考试和练习情况来看，学生 对逐差法掌握得并不好，究其原因，实际上是大部分学生对逐差法的操作过程不理解不熟悉所致；而很多资 料中，出现了在测量弹簧劲度系数、测量定值电阻、测量磁感应强度等问题中逐差法的应用

2、的题目，更是对 学生提出了深入理解、灵活迁移的要求。因此，从根本上把逐差法的适用条件、操作过程、减小误差等诸方 面搞清楚，是完全必要的。我们通过对比研究已知的逐差法适用题型，并对逐差法进行理论分从析而，得到了 本篇文章研究的结果，现发出来与大家分享，同时欢迎大家的批评指正。一、逐差法的适用条件等差数列求公差从理论上讲，一个物理量(因变量)随另一个物理量(自变量)成线性规律变化时，如果自变量的化变 采用等差递增方式，则理论上讲，因变量也应该是等差递增的，也就是说因变量数列应该是一个等列差；数但 由于实验测量时误差的不可避免，实际测量得到的因变量的数列并不是严格的等差数列，在有的况情下，为了 得到

3、理论上需要的公差，就需要采用一种计算操作，实现多次测量求平均值的目标，从而求误得差较小的公差 值。这时，我们往往采用所谓的“逐差法”。二、逐差法求公差的操作过程设一个物理量b随另一个物理量a理论上讲成线性规律变化，实验时让a等差递增，从而得到一个b 的数列匕，理论上讲，该数列是公差确定的等差数列，即ib - b = b - b = b - b = b - b = . = d2 1 3 2 4 3 5 4则理论上讲，就应该有b - b = (m - n)d，比如b - b = 3d、b - b = 3d、b - b = 3d。但实际上，m n415263实验测量不可避免的存在误差，因此实验计算的

4、结果是b - b = 3db - b = 3db - b = 3d411522633我们就可以通过将这几个 d 取平均值，从而计算出实验测得的该数列的公差i1d = (d + d + d)3 123最后可以得到d = RS b1 + S b2 + b6 - b3 ) =(4+ b5 + 停 土主2 主933333x 3上述求公差的计算方法，就叫做逐差法。如果数据不是偶数个，则通常采用去掉中间一个值或者最小的值的方式，将数据变成偶数个，然后进 行如上计算操作，进而得出实验公差值，比如实验测量数据有七个数据(b、b、b、b、b、b、b)，1234567如果去掉 b，则有 b - b = 4d、b

5、- b = 4d、b - b = 4d，得4 5116227331 /b - b b - b b - b、 (b + b + b ) - (b + b + b )d = ( 1 + + 3-) = 7 6 53 2 13 4443x 4如果去掉b，则有b - b = 3d、b - b = 3d、b - b = 3d，得15216327431 /b- bb - bb - b、(b+ b + b) - (b+ b + b )d = 一 ( + 3 + 4-) = 7 6 54 3 23 3333x 3三、高中物理中逐差法的应用示例1、纸带法测物体的加速度【例1】(2015全国卷II, 22)某同学

6、用图(a)所示的实验装置测量物块与斜面之间的动摩擦因数。 已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz,物块下滑过程中所得到的纸带的一部分如图6)所示，图中标 出了五个连续点之间的距离。(1)物块下滑时的加速度a=m/s2,打C点时物块的速度v=m/s解析物块沿斜面下滑是匀加速直线运动，理论上讲有x - x = x - x = x - x =Ax = aT2,DE CD CD BC BC AB因此满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有2解得加速度a = 3.25 m/s20x - x = 2Ax = 2a T2, x - x = 2Ax = 2a T 2两式联立，a + aDE (x BQ x

7、 ) - (x 1 - x ) CD AB得.a = 12 = de CD BC AB，代入 T=0.02 s,22 x 2T 2打 C点时物块的速度vC= BD= 1.79 m/s。C 2TA2、悬挂法测弹簧的劲度系数【例2】某同学用悬挂法测弹簧的劲度系数。(1) 将弹簧竖直悬挂在铁架台上，将刻度尺竖直固定在弹簧一侧。(2) 弹簧自然悬挂，待弹簧静止时，长度记为L。；弹簧下端挂上砝码盘时，长度 记为L ；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为厶至L6。数据如下表：x16代表符号L0LxL1L3L4LL6数值(cm)25.3527.3529.3531.3033.4035.3537.4

8、039.30(3)弹簧的劲度系数为N/m。(结果保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)解析只挂砝码盘时，由平衡条件，有kx - mg = 0，即k (L - L ) - mg = 0 ；再加砝码个数为n 0 0 x 0 0 nmg时，由平衡条件，有 kx - (nmg + mg) = 0,即 k (L - L ) - (nmg + mg) = 0，联立得 L = L +，0n 00n x k由此可知， Ln 随 n 应该是均匀增加，是一个等差数列，满足逐差法适用条件，则按逐差法操作程序，有L-L= 3Ax， L-L= 3Ax ， L-L= 3Ax631522413则每增加一个砝码，弹

9、簧长度的平均增加量为.Ax + Ax + Ax (L + L + L ) (L + L + L )小Ax = 123 = 65 4321 = 2cm33x 3AF mg 则弹簧的劲度系数为k = = = 4.9N/m 0Ax Ax3、伏安法测定值电阻【例3】(2016浙江理综，22)某同学用伏安法测量导体的电阻，现有量程为3 V、内阻约为3 kQ的U/V0.400.801.201.602.002.40I/A0.090.190.270.350.440.53电压表和量程为0.6 A、内阻约为0.1。的电流表。采用分压电路接线，图7是实 物的部分连线图，待测电阻为图8中的R,其阻值约为5 0。(1)

10、 测R阻值的最优连接方式为导线连接 (填a或b)、导线连接(填c或d)o(2) 正确接线测得实验数据如表，用作图法求得R的阻值为0o图7解析(l)a d;(2)原题要求用作图法求 R1 的阻值，本题还可以用逐差法求解，从考场操作角度来讲，逐差法其实还 简单一些。由欧姆定律I = U可知，当电阻R两端电压U按等差数列均匀变化时，通过R的电流I也应是按等 R1 差数列均匀变化的，则按逐差法操作程序，有I -1 = 3AI， I -1 = 3AI， I -1 = 3AI6 3152241则R两端电压U每增加0.4V，通过R的电流I的平均增加量为AI + AI + AI (I + I + I ) -

11、(I + I + I )AI =123 = 654321 = 0.08555A33x 3AU则R,的阻值为R =沁4-68n。11 AI4、伏安法测电源内阻【例4】(2014.福建理综，19(2)谋研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组 的电动势和内阻，实验原理如图甲所示，其中，虚线框内为用灵敏电流计G改装 的电流表A，V为标准电压表，E为待测电池组，S为开关，R为滑动变阻器，R0 是标称值为4.00的定值电阻。某次试验的数据如下表所示:该小组借鉴“研究匀变速直线运动”试验中计算 加速度的方法(逐差法)，计算出电池组的内阻r=0(保留两位小数)；为减小偶 然误差，逐差法在数据处理方面体现出的主

12、要优点是。测量次数12345678电压表V读数U/V5.265.165.044.944.834.714.594.46改装表A读数I/mA20406080100120140160解析(3)将电源E和R0打包作为等效电源(E, r),则有E = E, r = r + R，由U = E 一 Ir可 知，当通过等效电源的电流/按等差数列均匀增加时，等效电源两端的路端电压U也应该时按等差数列均 匀减小，则由逐差法的操作程序，有U -U = 4AU , U -U = 4AU , U -U = 4AU , U -U = 4AU5 ll 622733844则通过等效电源的电流I每增加20mA时，等效电源两端的

13、路端电压U也的变化量平均值为 a 口 AU +AU +AU +AU (U + U + U + U ) - (U + U + U + U )54 x 4 U =123 87654321 = -0.113V4 AU 则等效电源内阻为r =- = 5.660 则r = 1.660。I，用逐差法的优点可以减小实验误差。四、逐差法在减小实验误差中的作用.4 JJ C D EFW x2X x6下面以纸带法测量加速度为例，说明逐差法对减小实验误差的 意义。如右图所示，为了减小测量误差，测量AB、BC、CD.各段长 度时，并不是逐段分别测量，而是将刻度尺零刻度线对齐A点后， 一次性将AB、AC、AD.读完，也

14、就是图中的久、d2、d3.从逐差法的最终计算式1 x - x x - x x - x(x + x + x ) - (x + x + x ) (d - d ) - d d - 2dAx = (41 + 5 2+ 6 = 654321 = 633= 63 33333x 33x 33x 3Ad 理论，逐差法得到的Ax的误差为=一93如果采用逐段相减的方法，即Ax = x - x ， Ax = x - x ， Ax = x - x ， Ax = x - x ， Ax = x - x121232343454565可以看出，逐差法利用的实际是前后两大段纸带的长度，设每个d测量的平均误差为Ad，则按误差则最终的计算式为1Ax = _ （Ax +Ax +Ax +Ax + 心）=x6 _ 片=（d6 一 d5）一 d = d6 _ d5 _ d5123455553Ad按误差理论，这种算法得到的Ax的误差为，显然，后一种算法引起的误差要大一些。5所以，逐差法可以起到减小实验误差的作用。组数据，也就如是