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1、1.(2010高考陕西卷)如图, 在四棱锥PABCD中, 底面ABCD是矩形, PA平面ABCD, APAB, BPBC2, E, F分别是PB, PC的中点.(1)证明: EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V.解: (1)证明: 在PBC中, E, F分别是PB, PC的中点, EFBC.四边形ABCD是矩形, BCAD, EFAD, 又AD平面PAD, EF平面PAD, EF平面PAD.(2)连接AE, AC, EC, 过E作EGPA, 交AB于点G, 则EG平面ABCD, 且EGPA.在PAB中, APAB, PAB90, BP2, APAB, EG.SABCABBC2, VE
2、-ABCS ABCEG.2.已知四棱锥PABCD及其三视图如图所示, E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)不论点E在何位置, 是否都有BDAE？试证明你的结论；(3)若点E为PC的中点, 求二面角DAEB的大小.解: (1)由三视图可知, 四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形, 侧棱PC底面ABCD, 且PC2, VPABCDS正方形ABCDPC122, 即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置, 都有BDAE.证明: 连接AC, ABCD是正方形, BDAC, PC底面ABCD, 且BD平面PAC.BDPC.又ACPCC, BD平面PAC.不论点E在何位
3、置, 都有AE平面PAC, 不论点E在何位置, 都有BDAE.(3)在平面DAE内, 过点D作DFAE于F, 连接BF.ADAB1, DEBE, AEAE, RtADERtABE, 从而ADFABF, BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角.在RtADE中, DFBF, 又BD, 在DFB中, 由余弦定理得cosDFB, DFB120, 即二面角DAEB的大小为120.3.如图所示, 在正方体ABCDA1B1C1D1中, M, N分别是AB, BC的中点.(1)求证: 平面B1MN平面BB1D1D；(2)在棱DD1上是否存在点P, 使BD1平面PMN？若存在, 确定点P的位置；若不存在, 说
4、明理由.解: (1)证明: 如图所示, 连接AC, 则ACBD.又M, N分别是AB, BC的中点, MNAC.MNBD.ABCDA1B1C1D1是正方体, BB1平面ABCD.MN平面ABCD, BB1MN.又BDBB1B, MN平面BB1D1D.又MN平面MNB1, 平面B1MN平面BB1D1D.(2)存在这样的点P, 并且DPPD131, 即点P是靠近点D1的线段D1D的第一个四等分点.设MN与BD的交点是Q, 连接PQ, 则平面BB1D1D平面PMNPQ.当BD1平面PMN时, 根据线面平行的性质定理, BD1PQ, DQQBDPPD131.4.如图(1)所示, 等腰梯形ABCD中,
5、ADBC, ABAD, ABC60, E是BC的中点.如图(2), 将ABE沿AE折起, 使二面角BAEC成直二面角, 连接BC, BD, F是CD的中点, P是棱BC的中点.(1)求证: AEBD；(2)求证: 平面PEF平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC, 并说明理由. 解: (1)证明: 取AE中点M, 连接BM, DM.在等腰梯形ABCD中, ADBC, ABAD, ABC60, E是BC的中点, ABE与ADE都是等边三角形.BMAE, DMAE.BMDMM, AE平面BDM.BD平面BDM, AEBD.(2)证明: 连接CM, 与EF交于点N, 连接PN, MF, M
6、EFC, 且MEFC, 四边形MECF是平行四边形.N是线段CM的中点.P是线段BC的中点, PNBM.BM平面AECD, PN平面AECD.又PN平面PEF, 平面PEF平面AECD.(3)DE与平面ABC不垂直.证明如下: 假设DE平面ABC, 则DEAB.BM平面AECD, BMDE.ABBMB, DE平面ABE.DEAE, 这与AED60矛盾.DE与平面ABC不垂直.5.在四棱锥PABCD中, 底面ABCD是矩形.已知AB3, AD2, PA2, PD2, PAB60.(1)证明AD平面PAB；(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小；(3)求二面角PBDA的正切值的大小.解:
7、 (1)证明: 在PAD中, 由题设PA2, AD2, PD2, 可得PA2AD2PD2, 于是ADPA.在矩形ABCD中, ABAD, 又PAABA, 所以AD平面PAB.(2)由题设, BCAD, 所以PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中, 由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB, PB平面PAB, 所以ADPB, 因而BCPB, 于是PBC是直角三角形, 故tanPCB.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小为.(3)如图所示, 过点P作PHAB于H, 过点H作HEBD于E, 连接PE.因为AD平面PAB, PH平面PAB, 所以ADPH.又ADABA,
8、因而PH平面ABCD, 故HE为PE在平面ABCD内的射影, BDPE.从而PEH是二面角PBDA的平面角.由题设可得, PHPAsin 60, AHPAcos 601, BHABAH2, BD, 由RtBEHRtBAD, 得HEBH.于是在RtPHE中, tanPEH.所以二面角PBDA的正切值的大小为.6.如图所示, 在四面体ABOC中, OCOA, OCOB, AOB120, 且OAOBOC1.(1)设P为AC的中点, 证明: 在AB上存在一点Q, 使PQOA, 并计算的值；(2)求二面角OACB的平面角的余弦值.解: (1)证明: 作ONAB于点N, 取O为坐标原点, 以OA、ON、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示), 则A(1,0,0), C(0,0,1), B.P为AC的中点, P.设 (0,1)., (1,0,0), .PQOA, 0, 即0, .存在点Q使得PQOA且3.(2)记平面ABC的法向量n(n1, n2, n3), 则由n, n, 且(1,0, 1), , 得故可取n(1, , 1).又平面OAC的法向量为e(0,1,0), cosn, e.二面角OACB的平面角是锐角, 记为, 则cos .
