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1、半导体激光器设计理论I. 速率方程理论 (郭长志, LT1-1C3.doc, 11 Oct. 2007)1.2-2 突变同型异质结的库莫(Kumer)理论13, 14, 5 真空能级 - + c2 F2 c1 F1 DEc dc2 Ec2Ec1 qeVD qeVD2 Fc2Fc1 qeVD1 dc1 EF Eg1 Eg2Ev1 DEv n N Ev2图1.2-5(a) n-N同型异质结未接触前能带图 同型异质结积累区的空间电荷分布和电势分布，除了可以求解泊松方程得出之外，还可以由归一化势能积分得出。从而可以准解析地得出其两边的内建电场F和总电荷Q。 对于如图1.2-5(a) 所示的n-N结其带
2、阶为：(1.2-2a)(1.2-2b)这里的 Dc 0是由于定义 c1 和 c2 分别是窄带隙和宽带隙的电子亲和势。1.2-2A n-N同型异质结 在无偏压的平衡情况下内建势能为： (1.2-2c) (1.2-2c)图1.2-5(b) n-N同型异质结导带能带图分析其中后两式采用了非简并统计近似。由(1.2-2c,b)，远离结区的带边之差分别为： (1.2-2d) (1.2-2e)电荷密度分布为： (1.2-2f)电势方程为：(1.2-2g)泊松方程为： (1.2-2h)n-和N-半导体接触并达到平衡时,其能带图将如图1.2-5(b)所示。加偏压Va= Va1 + Va2后： (1.2-2i)
3、 (1.2-2j) (1.2-2k) (1.2-2l) (1.2-2m) (1.2-2n) (1.2-2o) (1.2-2p) (1.2-2q)即将电势 j 的泊松方程化为归一化势能 b 的泊松方程。1 结的左边（x1 x x0）积累区：(1.2-2r)(1.2-2s)(1.2-2t) (1.2-2u) (1.2-2v) (1.2-2w) (1.2-2x) (1.2-2z)2 结的右边（x0 x x2）准耗尽区： (1.2-2z) (1.2-2aa) (1.2-2ab) (1.2-2ac)(1.2-2ad) (1.2-2ae) (1.2-2af)联立： (1.2-2ag)和(1.2-2i)：
4、(1.2-2ah)并利用平衡时的解： (1.2-2ai)即可解出Va1和Va2。 (1.2-2aj) (1.2-2ak)3 场连续性： (1.2-2al)得出： (1.2-2am)4 电中性：(1.2-2an)图1.2-6(a) 半导体内1边的势能随距 b1m 3.0界面的距离的变化也得出：(1.2-2ao)联立： (1.2-2ap)解出 b1m 后再代回(1.2-2ap)，得出 b2m。 如已知 b1m，则对给定的一个x值，试用一系列的 b1值，使积分满足：(1.2-2aq)在一个L内的结果如图1.2-4(a)所示。从这样逐点算出的数据，即可得出相对于左边体内电图1.2-6(b) 左(1)边
5、半导体内占总电荷的比率随距界面的距离的变化势 j(-) = j(x1) 的x点电势的值： (1.2-2ar)相对于体内导带边能量的x点的导带边能量为：(1.2-2as)左边x点的内建电场强度为： (1.2-2at)左边x点到结的交界面x0点的电荷为：(1.2-2au)它与左边总电荷量Q1的比值为： (1.2-2av)如左边半导体的内建电势Vd1比较小，则 b1m和 b1都将比较小，这时： (1.2-2aw)(1.2-2ax)图1.2-7(a) n-N同型异质结平衡能带图(功函数W1,2 F1,2)在Vd1小的条件下，这比值随(x - x0) / L1的变化如图1.2-6(b)所示。可见电荷在3
6、L1内已达积累区总电荷的98.6 %。无偏压时的n-N和N-n-N同型异质结的能带图分别如图1.2-7(a) 至(e)所示。可见，对于突变同型异质结,在相同的条件下，将可能得出与欧哈姆-米纳斯理论7相同的结果。图1.2-7(b) N-n-N突变同型双异质结中的电子势能分布和能带图(W1,2 F1,2)图1.2-7(c) N-n-N突变同型双异质结中的空间电荷分布图1.2-7(d) N-n-N突变同型双异质结中空间电荷分布向离结方向的积分图1.2-7(e) N-n-N突变同型双异质结中的内电场分布1.2-2B 对有电流情况的推广1 内建电势的分配关系 库莫理论的主要成果是同型异质结内建电势在两边
7、的分配关系： (1.2-2ba)库莫在其第二篇文章12中说它是在无电流情况导出的，在有电流时不成立。但其实，库莫在其第一篇文章11中所作如下定义中，已包含有外加偏压Va情况： (1.2-2bb) (1.2-2bc)上述电势在两边的分配关系是以隐函数的形式表为： (1.2-2bd)固然公式的右边与电流无关，但公式的左边将对不同的 bm得出不同的 b1m，从而得出不同的 b2m 。设无电流(无偏压)时为 bm0，b1m0，b2m0，有电流(有偏压)时为 bmj，b1mj，b2mj，则： (1.2-2be) (1.2-2bf) (1.2-2bg) (1.2-2bh)例如，对于Vd = 0.289,
8、当Va= 0时, b m0 =11.187, b1m0 = 5.087, b2m0 = 6.1, 得出 Vd1=0.131506, Vd2 = 0.174371；当Va = 0.1时，bm0 = 7.319，b1m0 = 4.247，b2m0 = 3.027，得出Va1 = 0.021715，Va2 = 0.077923。由于同型异质结中的内建电势比较低,电势分配关系(1.2-2bd)可以近似写成： (1.2-2bi)可见其与耗尽假设下得出的电势分配关系(1.1-1af)不同。2 完全耗尽层 假设半导体的右(2)边为完全耗尽层，则易由泊松方程积分得出 b2m与空间电荷区宽度ln2 (这时是有限
9、的)之间的关系为： (1.2-2bj)这时，内建电势和外加电压的比值也化为： (1.2-2bk)3 极限情况当Vd2Vd，Va2Va，时，b2m bm，半导体1结中起金属作用，使这n-N同型异质结近似为金属-半导体结。因此可以把上述理论看成金属-半导体结的推广。4 简并情况假设半导体的1边是简并的，则： (1.2-2bl) (1.2-2bm) (1.2-2bn) (1.2-2bo) (1.2-2bp)令： (1.2-2bq) (1.2-2br) (1.2-2bs)c 是一定 h 范围内的一个常数，(1.2-2bq)中已对不同 h 范围内采用不同的c常数。利用半导体内部的电中性条件：在 x =
10、x1，r = 0，b1 = 0，则得： (1.2-2bt) (1.2-2bu)积分(1.2-2bt)，并利用 得出积分常数，则得： (1.2-2bv) (1.2-2bw)最后,得出对给定半导体中距结面的距离x的b1的解式： (1.2-2bx)空间电荷区的总宽度xn在原则上可以由在(1.2-2bw)中令 b1 = 0定出，但即使在简并情况下仍将得出一个对数式发散，说明在半导体1中的空间电荷区没有明显的分界线。5 b1小情况下的积分I(b1，b1m) 为计算在 b1 小的下述积分： (1.2-2ca)令： (1.2-2cb)其中 b 是： (1.2-2cc)的一个解，作为一级近似解，取： (1.2-2cd)则对小的 b1： (1.2-2ce)由(1.2-2av)，在x0到x之间的电荷与总电荷之比为
