《高等数学 极限.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学 极限.doc（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘要在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好的计算方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就极限的计算方法和技巧做一个系统的概括和总结。极限概念是数学分析中最基本最重要的概念，是学习其他一切数学课程的基础，由于数学分析的许多重要概念如连续、导数微分和积分等有要用到极限概念来表达，有些计算方法也是建立在极限概念的基础上，因此掌握极限概念的理论和求极限的方法，对学习数学分析甚至整个大学数学都至关重要。极限计算不仅是数学分析中的一个重点部分，而且也是一个难点部分。因此用必要探讨极限计算的技巧，只有掌握极限的计算技巧，才能对大学数学专业知识真正的消化吸
2、收。关键词：极限、数列、一元函数、多元函数、夹逼准则、单调有界定理、洛必达法则、泰勒展开式Abstract Abstract ：In the mathematical analysis and the calculus, the concept of limit occupy a major position and appears in various forms and through all of the content, so master the calculation method is the study of mathematical analysis and calculus
3、 is a key ring. This paper discusses the limit calculation method and skill to do a systematic summary.The concept of limit in mathematical analysis is the most fundamental and most important concept, is the study of all other mathematical courses, due to the mathematical analysis of the many import
4、ant concepts such as continuous, derivative, differential and integral is to use the concept of limit to express, some calculations are based on the concept of limit based on the concept of limit, so to master the theory and the limit of the method, for the study of mathematical analysis and even th
5、e whole university mathematics are essential.Mathematical analysis of the limit calculation is not only a important part, but also a difficult part. Therefore necessary to explore the limits of computing skills, master only limit calculation skills, ability of university mathematics professional kno
6、wledge really digestion and absorption.Key words: limit, sequence, a unary function, multiple functions, the squeeze theorem, monotone bounded theorem, LHospital Rule, Taylor expansion目录一、 绪论5二、 数列极限的求法52.1 迫敛性求极限52.2 四则运算法则求极限52.3 单调有界法则求极限62.4 利用子数列的性质求极限7三、 一元函数极限的求法73.1 利用两个准则求极限73.2 利用极限四则运算性质求
7、极限83.3 利用两个重要的极限公式求极限103.4 利用函数的连续性求极限103.5 利用函数的导数求极限123.6 利用洛必达法则求极限123.7 利用泰勒展开式求极限143.8 利用定积分定义求和式极限153.9 利用无穷小量的性质求极限153.10 利用等价无穷小量的性质求极限163.11 利用中值定理求极限163.12 其它方法求极限17四、 多元函数极限的求法18 4.1 重极限的计算方法18 4.2 累次极限的计算方法20结论21参考文献21致谢22极限的计算技巧1 绪论极限是数学分析中最根本的概念之一，在我国古代很早就有有关极限的例子。例如：古代哲学家庄周所著庄子天下篇引用过一
8、句话：一尺之棰，日去其半，万世不竭。其含义是：一根为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限地进行下去。不难看出，随着截取的次数增加，剩下的木棒不断减少，直到最后无限地接近于0.随着微积分的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是模糊不清的，因此在数学界引起很大争议甚至怀疑。直到19世纪，由A-L柯西、魏而斯特拉斯的工作，才将其置与严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限要从以下两方面着手。1：考察所给函数是否存在极限；2：如何求出所给函数的极限
9、值。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下如何求的极限值。2 数列极限的求法2.1 迫敛性求极限数列极限的迫敛性：设收敛数列an,bn都以a为极限，数列cn满 ancnbn,则limcn=a.例1 求极限lim1/(n2+n+1)+2/(n2+n+2)+n/(n2+n+n)解： 利用数列迫敛性解答该题的极限问题记G=1/(n2+n+1)+2/(n2+n+2)+n/(n2+n+n),则1+2+n/(n2+n+n)G1+2+n/n2+n+1,即n(n+1)/2(n2+n+n)GN时，有且则有 . 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和 ，使得。例1 求的极限解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项 则 又因为3.1.2 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。 例：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 证明：从这个数列构造来看 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得. 因为前面证明是单调增加的。 两端除以 得 因为则, 从而 即 是有界的。根据定理有极限，而且极限唯一。 令 则
