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1、实验二：迭代法、初始值与收敛性一：实验要求,片 ”4,A考虑一个简单的代数方程-”- x2 x 1 = 0,-_-jiBF fT rFIPJtBF T ”*|fijUF 存rT针对上述方程，可以构造多种迭代法，如X二x2 1,x二1 +丄，x =Qx + 1等。在实n+1nn+1xn+1nn轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。二：实验要求及实验结果（1）取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放a卢HF,k w事声w入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系
2、。（2）对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？实验内容：i）对x二x 2 1进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值-0.6,1.6进行n+1n实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令 x=xA2-1pp目-clearn=30;x=-0.5;总，込ji巴化込x1=xA2-1;for i=1:nx1=x1A2-1;xx（i）=xl;end.m=linspace(0,29,n);plot(m,xx)title(x=-0.5)026810121416-1820如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果
3、都是不收敛的。分析：g (x)二 x2 -1，g(x)二 2 x,要想在某一邻域上 g(x)| = |2 x| 1,则 Vx e -1,1但是g(x)电-1,1，所以不存在某个邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任何初值都 是发散的。“ 1 一ii)对x二1 +进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0.7, 2.1进+1xn 口口b行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令 x=xA2-1clear n=20;x=-0.5;x1=1+1./x;$for i=1:nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n)
4、;plot(m,xx,b) title(x=-0.5)如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。02468101214161820分析：g (x弄+1设 xng(x) e 1.65,+s, Vx e 1.65,+s,g(x)=1.65,+対上有界，且|g(x)|=丄 1.65，此时x相当于是0口pnp n在1.65,+刈范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性 没有影响。iii)对x =Qx +1进行迭代运算，选取迭代次数n=20 ；分别选择初值=-0.6, 2.1进 n+1 n行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法
5、求解%令 x=sqrt(1+x)clearn=20;x=-0.5;x1= sqrt(1.+x);for i=1:nx1= sqrt(1+x1);xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,b)title(x=-0.5)1.65L1n1X=-0.611 1 11.67L1L1-2111 11.6- 1.66-1.551.5.1-1.651.45-|1.641.4-11.63-1.351.621.3rriii1 1 1r1r1r111 192后1在i刘1.251.6102468101214161820 024681012141618209分析：g(x) = Q
6、x +1 设 g(x) e -1, +8, Vx e -1,+s, g(x)=n实数域上有界，且g-1，此时x相当于是在-1,+范围内的-nn -初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。(3) 线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。i) 对线性方程f (ax + bx )二 af (x ) + bf (x )，设 f (x) = ax + b，则 f(x)二 a。1 2 1 2若线性方程的迭代是收敛的，则有|f(x)| = a 1,-1 a 1对f (x) = ax + b而言，在-8, +s上，都有x,f (x) e -8, +s，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受 初值的影响。若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影 响。ii) 对非线性方程的迭代，就复杂的多。对于方程迭代发散的方程而言，无论初值如何选择，收敛性是不会改变的。方程的迭代j-Hi” pqMF JP_p事h 还是发散。对方程迭代收敛的情况而言，若想要使得初值的选择不会影响收敛性，那必须要使得x,f (x) e -8, +8并且在某一定点的邻域内f(x) 1，情况是很复杂的。
