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1、5-5质数合数分解质因数逊左教学目标本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数 合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂 许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体 系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与 之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这 一Ii个方法能够熟练并且灵活运用。I.J-?I j Imum 知识点拨1 质数与合数、一个数除了 1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）. 一个数除了 1和它本身，还有别的约数，
2、这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2和5,其余的质数个位数字只能是1, 3, 7或9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2的特殊性为考点. 除了 2和5,其余质数个位数字只能是1, 3, 7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2. 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两
3、个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30 =2 3 5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12=2 2 3 =3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数 约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.I3. 唯一分解定理I . i I /任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即： n =p；1 p? p?川p暑其中为质数,印g ：川III何为自然数，并且这种表示是唯一 的.该式称为n的质因子分解式. jI例如：三个连续
4、自然数的乘积是 210,求这三个数.分析：T 210=2X 3X 5X 7,二可知这三个数是 5、6和7.II ”4. 部分特殊数的分解111 =3 37 ； 1001=7 11 13 ；11111=41 271 ； 10001 =73 137 ； 1995=3 5 7 19 ；1998=2 3 3 3 37 ； 2007=3 3 223 ； 2008=2 2 2 251 ； 10101=3 7 13 37.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p的质数q（均为整数），使得q能够整除p, 那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p的质数去除p就可以了；但是 这样的计算
5、量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近 p的平方数 K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近144=12 12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.：Lhi二例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1 56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们 对应的字依次
6、排成一行，组成一句话，请写出这句话.【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋12 345 |6 7 8 9101112 1314杯赛联谊欢声响,念1笑慰来者多;151617 18192021 22 23242526 2728九天九/ 1/ 霄志凌云,九七共庆手相握;293031 32333435 36 37383940 4142聚起华夏中兴力,同唱移山壮丽歌.434445 46474849 50 51525354 5556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚 中山.【巩固】（2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练）炎黄骄子 菲尔兹奖
7、被 誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家.华人数学家丘 成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖.我们知道正整数中有 无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定 理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组.例 女口，k=3时，3, 5, 7是间隔为2的3个质数；5, 11, 17是间隔为6的 3个质数：而, , 是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）.【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12,所以2不能在所要求 的数组中.而且由于个位是5的质数只有一个5,所以个位是3的质数不 能作为第一个质数和
8、第二个质数，可参照下表：第一个质救第二个质戳第三个质数满足要求亦51?29Z71931V172941193143294153374961475971【巩固】（2003年“祖冲之杯”邀请赛）大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲 之，计算出n的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把 n的值精确到7位小数的人.现代人利用计算机已经将n的值计算到了小 数点后515亿位以上.这些数排列既无序又无规律.但是细心的同学发 现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在 3141, 31415, 314159, 3141592, 31415926, 31415
9、927 中，哪些是质数？.【解析】注意到 3141, 31415, 3141592, 31415926, 31415927依次能被 3, 5, 2, 2, 31整除，所以，质数是314159.【巩固】（2004年全国小学奥林匹克）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而 且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】这样的自然数有4个：23, 37, 53, 73.例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。【巩固】如果a, b均为质数，且3a+7
10、b = 41，则a+b=.【解析】根据题意a,b中必然有一个偶质数2,当a = 2时，b = 5，当b = 2时不符合 题意，所以a b =2 -5=7.【巩固】A, B, C为3个小于20的质数，A B C =30，求这三个质数.【解析】因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只 能是2，另两个奇质数之和为28，又因为这三个数都要小于20，所以只能 为11和17,所以这三个质数分别是2 , 11 , 17.【巩固】已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【解析】最小的合数是4,其平方为16.我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以 这3个质数中必然
11、有2,那么其余2个的和是14,只能一个是3 一个是 11,因此这3个质数的乘积是2 3 11=66 .【巩固】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数.同时， 她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中a = b，而且ab和ba都是质数（a和b是两个数字）.具有这种形式的数共有多少个？【巩固】若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5,故有1331, 3113, 1771, 7117, 7337, 3773, 9779, 7997 共 8 个数.例 3】（“祖冲之杯”小学数学邀请赛）九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆 至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑.如
12、果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘 余下的大巴.那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均 分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人 22 23 23 =232 =529 （个）.【巩固】（俄罗斯数学奥林匹克）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同.如 果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数 0,2,4, 6, 8也不可能是奇数5.如 果末位数字是3或9,那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整 除
13、，这就不是质数了.所以个位数只能是 7.这个三位质数可以是167, 257, 347, 527或617中间的任一个.【巩固】（第五届“华杯赛” 口试第15题）图中圆圈内依次写出了前25个质数; 甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之 积填在下行方格中.81223711561535质数列乙填积数13问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同 ？为什么？【解析】质数中只有一个偶数2,其余的质数均为奇数.所以甲填的“和数”中除第一个是奇数 5夕卜，其余的均为不小于8的偶数.乙 填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数.所 以甲填的数与乙填的数都不相同.【巩固
14、】（全国小学数学奥林匹克）从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相 邻的两数之和都是质数.排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时 针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】由于质数除了 2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间 排列.切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低 位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9,第二位选8, 第三位最大可以选 乙但7与8之和不是质数，再改选5, 8与5之和是 质数，符合要求.第四位可选剩余的最大数字 6,如此类推十位可选 3,个位选2.所以，可以读到的最大数是 98567432.数字排列如下图.【巩固】（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）用L表示所有被3除余1的全体正 整数.如果L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除， 称此数为“ L质数”.问：第8个“L质数”是什么？【解析】“L 数”为 1,4,7,10, 13,16,19,22, 25,28,31, 34,.“L质数”应为上列数中去掉1, 16, 28,，即为4, 7, 10, 13, 19, 22, 25, 31, 34,.所以，第8个“L质数”是31.例 4】
