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1、教科四 林品聿 490100244一、容量的數學結構：一般人所稱的容量，有時是指液量，有時是指容量。液量是指流體物質在容器中所占據的空間，例如：杯中的水量、瓶裡的牛奶量。容量是指流體物質占滿容器的最大盛載量，例如：杯子裝滿的水量、滿瓶的牛奶量。容量的估算係指液體而言，並不包括固體物質有些細微的固體，例如：米、砂、糖、鹽等，雖可利用容器盛裝，但是顆粒之間是有空隙的，敲一敲使空隙減少，還可以多裝一些，所以通常是以重量來敘述固體物質。(一) 體積和容積、容量的關係體積是物體所占空間的大小。容量是流體物質占滿容器的大小。空體（中間是空的物體）所能容納物體的體積，叫做他們的容積或容量。 容積與體積有著緊
2、密的聯繫，因為容積是箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，所以計量容積時的計算方法與所使用的計量單位，跟計量體積一般是一樣的。 從概念的意義上來看，體積和容積還是有不同之處。如：對空體（中間是空的物體，如箱、桶、罐、倉庫等）來說是容積，對實體來說是體積。 計量的方法上來看，計算物體體積時，要按外部尺寸計算。計算容器容積時，由於容器有厚，要把厚度減去，所以要按內部尺寸計算。 從用的計量單位上來看，計算體積所使用的是立方公尺、立方公分。計算容積時，一般也使用這單位，但是有時也用公升、分公升和毫公升。這是在計算物體時所不能使用的。它只限於計量液體，如：水、油、藥液、墨水等的體積時使用。 在計算具體的
3、實體問題時，要區別是求體積，還是求容積。不要把求容積和求體積混為一談。例:一個可裝750毫升（容量）的保溫水壺連蓋子的體積（外體積）蠻大的，它佔據了小背包可裝東西的地方（容積）的六分之一，現在裡面只裝了200毫升（液積）的熱咖啡。上面的敘述提到的量皆可以用體積的概念加以概括，但由於生活的需要以及認知發展的差異，使我們在課程設計時要謹慎啟用這些語詞，並且注意與學生溝通問題情境中的意義。(二) 公秉的意義公秉是容量和液量的單位，1公秉1000公升。按國際標準制，這個單位名稱應為千公升，不過，中央標準局准予列為併用單位。一般公開報導或文件上還是以使用公秉者居多。由於六年級上學期已經把容量、液量、容積
4、、體積的單位做了聯絡，即1公升水的體是1000立方公分，所以此處亦有1公秉水的體積是1立方公尺。(三)以公秉為單位的實測及估測不規則實體的體積以毫升、分升及公升為單位的實測活動可以使用有刻度的毫升、分升量筒，以及1公升量杯進行實測，但是什麼是以公秉為單位的實測呢？我們認為有兩種方式。第一種是透過可以裝液體的容器內部空間的體積的測量與計算而得。這是小學生可以學的。第二種是透過可以測定流量的水管注水或排水方式測得。這就偏於專門技術了。至於估測呢？則先把容器簡化為特殊幾何形體，其體積可以透過測量或估測此形體某些部位的長度後，帶入公式計算而得。或者由上述第二種實測法衍生而出。（四）不規則實體的體積之測
5、量一般不規則的實體（如石頭體積、錐體等）較不易由直接測量邊長方式獲得。因此可藉由間接測量而獲得。在第十一冊第二單元，對兒童而言，透過排容原理，了解容積和體積的關係性。即一公升的水是1000立方公分，亦即一毫升的水的體積等於一立方公分的共識。進而知道一個長方體積木或多個1立方公分積木放入量筒時，水上升的毫升數會和長方體或多個1立方公分積木體積的立方公分數一樣。而測量不規則實體的體積僅能引用前面物體的體積等於排開水的體積的事實，並藉容積和容量的關係，換算而間接獲得。換言之，如把一塊石頭放入水中，如測出上升（或排出）的水量是500毫升，則體積即為500立方公分。（五）以排水法測定浸沒水中物體體積將容
6、器裝水，水量為。將密度比水大的物體完全浸沒水中，就其水面高度折算成水量為。則此物體之體積即為的水量的體積。這是用排水法測定體積的原理。實際測定時，視情況會有一些修正。事先不知道須為多少時，可先將物體置入，再加水至浸沒。然後將物體提起，檢查此時的體積為，則物體體積為。此法與上法顛倒。物體上必須先繫好繩子。若物體會浮，則可將物體與鐵塊綁住來測，再將鐵塊體積扣除。若物體有細孔，可先將物體沒入水中至不再發生氣泡為止。再迅速將物體提開。但物體絕不可以壓縮，否則就沒有辦法。使用水面做刻度記號的方法時，須注意容器不可傾斜。可用毫升、分升刻度量杯，及公升量杯配合吸管來決定之值。將容器盛滿水後，再將物體小心置入
7、，確定完全沒入水中。如能確定接到全部溢出的水加以測量，則此法最直接。二、認知結構（一）皮亞傑的體積保留概念通常學童在六歲之後,其保留概念( conservation:守恆概念 )才發展。在此之前，他們還無法了解物質經過物理轉變後，總數量、重量以及體積仍然不變。具有體積保留概念的學童知道物質經過變形或分割重組，其所佔有的空間大小和原來一樣。有關液積部分，則指學童知道同一液量不受容器外型影響，也就是說，學童在同一時間能處理的向度(維度)，例如：高度、寬度、底面積大小等，可以超過一個以上。學童具有體積保留概念時，在內心做倒水的運思，已不需仰賴知覺中杯子的局部外觀。（二）液量的保留現象學童能認定液量不
8、因容器大小形狀的改變而改變，或經分割後其總量和不改變，則稱其具有液量保留概念。倒水活動可以促進學童液量保留概念，但保留訓練並非永遠可以成功。液量保留概念在教學上的意義，有下列幾點：1. 獲得可逆性信念：即將水倒回原杯檢驗，水量一樣多。2. 等量水，不隨杯子不同而改變。3. 經驗互補性：即等量的水倒在杯底較窄的杯子中，水位會較高。（三）容量的掌握與初步描述教師應藉由容器中液量的增減，讓學童觀察液量的顯著變化，鼓勵學童用手勢配合語意來表示水量，並藉由容器中液量的增減，觀察空間被物質填滿的情形，同時觀察容器中可以再裝水的空間，以掌握容器的容量。（四）學童不具體積保留概念時，不進行液量的直接比較，只進
9、行容量的直接比較液量依附容器而存在，所以進行兩液量的直接比較，即使利用同一種容器，要學童指出液量高度較高者液量較多，在學童尚不具體積( volume)保留概念時，上述活動是沒有意義的。（五）使用以分公升或毫公升為刻度單位的工具由於容量的認識、容量的直接比較、使用分公升或毫公升為刻度單位的工具報讀液量和容量，都是著重在容量的掌握，所以教學中只有讓學童藉由分公升或毫公升刻度的記號來描述液量和容量。（六）液量的直接比較和間接比較將兩杯形狀大小一樣的杯子靠在一起，從水面高度的高低來比較液量，不算是真的在比較液量，液量的直接比較是希望學童能把靜止的液量所佔的空間做直觀判定，進行比較，所以在低年級的教學中
10、很難進行。液量的間接比較有二個層面：一為間接比較，一為個別單位比較。間接比較係指透過媒介物或對實物的同類量予以變形後，再加以直接比較並描述比較的結果；個別單位比較係指能以一個量為基準，去累積一個被測量的量，並用累積的次數描述測量的結果。（七）容量的間接比較在三年級正式出現容量的語詞後，教師可拿二個空容器，直接詢問學童哪一個容器的容量較大，學童可藉由二個容器先裝滿水再倒出進行間接比較、個別單位比較；也可以利用個別單位比較的想法，將水倒入容器中，直到裝滿後進行比較；或一個容器先裝滿水，再倒入另一個容器進行比較。（八）1分公升杯也是一種個別單位利用分公升量筒的1分公升刻度定義1分公升杯的容量，讓學童
11、初步認識1分公升，再藉由每個1分公升杯裝1分公升的水進行描述容器中的液量，再限制只用一個1分公升杯，藉由倒水活動進行1分公升的累積，來描述水量。（九）容量的測量活動測量的學習分為兩階段，一是分離量化的測量，屬於分離量，例如：描述被測容器的容量是幾個1分公升杯。一是線性化的測量，屬於連續量，使用的計量容器是量筒，量筒上有分公升（公升）刻度，比較方便來測量描述被測的容量是幾分公升（公升）。幾個1分公升就是幾分公升這個數學概念是容量的加法合成性與減法分解性的主要基礎知識。例如：2個1分公升加5個1分公升是7 個1分公升，7 個1分公升的水合起來和7分公升的水一樣多，所以 2分公升 5分公升 7分公升
12、。（十）容量的單位化聚活動。化聚是二個不同階的量，進行由低階單位聚成高階單位，或由高階單位化成低階單位的活動。把高階單位化成低階單位叫做化，例如：把5公升 化成 50 分公升把低階單位聚成高階單位叫做聚，例如：把50分公升 聚成 5 公升。對於十進位制的量，通常會涉及二、三位小數，開始只進行整數化聚，也就是整千毫公升聚成公升，或者是餘量仍用毫公升表示；也可以是整公升化成整千毫公升。等學童的小數概念完備後，才進行小數化聚，至於分數化聚，不是教學重點。（十一）建立1公秉的量感1立方公尺算是學生熟悉的體積，因此可讓學童利用容積1立方公尺的容器，認識它的水量就是1公秉。另一方式就是以浴缸的水的2倍或3
13、倍來累積出1公秉的水量，此時亦可用寶特瓶或水桶引導學童掌握浴缸的容量。（十二）公秉、公升的化聚此部份與公噸、公斤或公里、公尺的關係完全相同，所以教學時可以很快進行。（十三）容量概念和容積概念兒童對固體和液體的認識是很不相同的，課程設計需讓兒童認知：使用體積單位和容量單位，均可描述空間區域的事實，徵求兒童同意水也是有體積的。當學童認識水也有體積後，便可以討論沉入水中的物體的體積，等於此物體所排開的水的水量，也就是水所佔空間的體積。(十四）不規則實體的體積之測量活動問題是想測量大石頭的體積。為恢復兒童上學期排容原理的舊經驗，因而先由長方體進行驗證長方體沉入水中排開的體積是否和長方體的體積一樣，進而
14、引此事實來解決石頭的體積問題。教師亦可利用此方法，讓學生求出柱體和錐體的體積。（十五）用水量與環境保護的關係台灣由於降水量充分均勻，所以平常人不太注意節約用水。但由於工業化加深，人口增加，生活水準提高，地下水流失，只好增建水庫來因應，近幾年引起嚴重的環保問題以及水資源分配的問題。藉由洗手的方式不同，產生用水量的差異，並累積為全校一日的洗手用水的差量，只是要使學童經驗如何可經由數學的估算來有效討論環保議題以及水資源分配議題。國小課程常用單位使用名稱對照表：名稱量公制82年版課程九年一貫課程容量公秉（kl）公秉千公升公升（l）公升公升公合（dl）分公升分公升公撮（ml、c.c.）毫公升毫公升容量單
15、位的關係1公秉 1000公升1公升 10分公升 1000毫升1分公升 100毫升體積單位和容積單位的關係1立方公分1毫升 1c.c.1公升 1000立方公分 1000毫升1公秉1立方公尺 1000公升 1000000毫升三、92年課程綱要修訂版：(一)分年細目2-n-15能認識容量，並作直接比較。3-n-13能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同容器的容量。3-n-14能認識容量單位公升、毫公升（簡稱毫升）及其關係，並作相關的實測、估測與計算。5-n-19能理解容量、容積和體積間的關係。(二)主題說明再者，基於教學時數的考量，國小數學的量與實測教學仍以長度、重量、時間、角度、面積為學習容量其學習大致上要都必須經歷下列四個階段：初步認識概念與直接比較；間接比較與個別單位；常用單位的約定；常用單位的換算。（1）初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類量作直接比較，最後是量的複製，這是（22）的前置經驗。另外，也包括利用測量工具
