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1、导数专题之导数的几何意义知识结构切线问題A_C在点处舒率过点处倾科角切点 三特征最值问题人综合问题线与线 (求参问题点与点恒成立问题线与点存在性问题# / 41.若存在过点(1,0)的直线与曲线y = x3和y = d+ +X 9都相切,则等于(A ) 4252172S7A. 1或一二B. 1或C. 一丄或一二D. 上或764446442、设a 0, /(x) = cix2 +Zu + c,曲线y = /(x)在点P(兀J(x(J)处切线的倾斜角的取值范围为0,-,则P到曲线y = /(x)对称轴距离的取值范围为(D )43、已知f(x) = x3-3x.it点P(l)可作函数/(劝的三条切线
2、,则加的取值范围为(B )A. (一2,一1)B. (一3,一2)C. (一1,0)D. (0,1)4、设点P在曲线y = ex上,点0在曲线y = ln(2x)上,则最小值为(B )A. l-ln2B V2(l-ln2) C l + ln2D. 2(1 +in2)5、已知函数 f(x) = ax2 -(2a + l)x+2Inx (a g R).若曲线 y = f(x)在x = 1 和 x=3处2的切线互相平行,则=O2?【解析】f(x) = ax-(2a + )+- (x0).广(1)=广(3),解得x36、设曲线y = xH+, (n e N)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为
3、xn,令j = lg ,则+ a2 4F知的值为2解析:点(1)在函数ySwNj的图像上,(1)为切点,y =才宀的导函数为.y = (“ + l)x = y l.r_, =4-1 = 切线是:y - 1 = (n -+- l)(x 1)令y=0得切点的横坐标:xz/ = Hn + 1,t 1 298 99 f 1 ra. +6 + + % = lgx 宀和 =lg = lg= 21“ 八 _“& 2 399 1001007、立义:曲线C上的点到直线/的距离的最小值称为曲线C到直线/的距离,已知曲线G:y十“到直线心的距离等于曲线C2: W+(y+4)2=2到直线/.尸尤的距离,则实数=。-【
4、解析】曲线C2: x2+(y+4)2=2到直线l:y二x的距离为d =一 -迈=2迈-迈=迈,4VI2+ 12曲线Cl: y=x2+a对应函数的导数为y = 2x,令2x = 1得x = |,所以Ci: y=x2+a上的点 2.1 1 .为(一,一+ a),点(- + a)到到直线l:y二x的距离应为,所以2; 4解2 42 4712 + 1297得。=或6/ =(舍去)。448、已知函数f(x) = Jx,g(x) = anx,aeR ,若曲线y = f(x)与曲线y = g(x)相交,且 在交点处有共同的切线,求“的值和该切线方程; 【解析】rw=,/(x)=-(xo),2jxx由已知得1
5、 a2Jx X解得 a = .x = e22两条直线交点的坐标为(e29e),切线的斜率为k = f(e2) =,2e切线的方程为y-e = -(x-e2)9、设函数FM = nx + -, x e (0,3,英图象上任意一点儿)处切线的斜率丄恒 x2成立,求实数“的取值范用。【解析】F(x) = hix + -, x e (0,3 x则有 k = Fx. =三,在x0 e (0,3上恒成立,2所以+Xo)max, x0 e (0,3当x=l时,*对+无取得最大值,所以oi10、设函数f(x) = ax + (a,beZ),曲线y =/(x)在点(2 J(2)处的切线方程为 x + by =
6、3。(1) 求),=/(X)的解析式;(2) 证明:曲线y = /(x)任一点处的切线与直线兀=1和直线y =工所用三角形的而积为泄值,并求岀此左值。a = Lb = _h9a = 943【解析】w侖2a 4! = 3,2 + ba _!-=0,(2 + b)2因仏 bWL、故 f(x) = x +x-l(2)证明:在曲线上任取一点兀,由广(儿)=1知,过此点的切线方程为(忑一1)( 忑)令X=1得y = zl,切线与直线x = l交点为1,令y = x得y = 2兀一1,切线与直线y = x交点为(2如一1,2如一1).直线x = 1与直线y = x的交点为(14)从而所围三角形的而积为一|
7、2x0 _ 2| = 2 12所以,所用三角形的面积为立值21K已知F(x) = 21nx-x2-Ax.,若函数F(x)存在两个零点m,n(Omn),且满足2x0 =/;/ + /?,问:函数F(x)在(x0,F(x0)处的切线能否平行于x轴?若能,求出该切线 方程:若不能,请说明理由.【解析】设F(x)在(如,F(x。)的切线平行于x轴,英中F(x) = 2nx-x2-kx结合题意,有 0II ( + 1)( + 1)2 u(u + y ”( + 1)2所以函数y = ln” 一却匸匕在(o,l)上单调递增,u + l因此,y y = 0 ,即 In u 一 0. u + 也就是,此式与矛盾.所以F(x)在(心F(x0)处的切线不能平行于x轴.