第六章 狭义相对论

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1、6.1 相对论的基本原理和时空理论认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系无关, 这种绝对时空和绝对质量观念是经典力学的“公理”基础,其集中反映 便是伽俐略变换.但从 19 世纪末年起,人们发现这种观念与电磁现象和 高速运动的实验事实不符.在迈克尔孙等人光速测量实验的基础上,爱恩斯坦于1905年创立了 狭义相对论.这一理论的两个基本假设是:相对性原理物理定律在所有惯性系都有相同的形式；光速不变原理真空中的光速在所有惯性系沿任何方向都是常数C,与光源的运动无关.间隔不变性间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系E中，任意两事件的空时坐标为就儿习右）和色必宀总）,定义两

2、事件的间隔为疋=匕2（耳耳尸一（吃一巧尸（旳”尸（习可尸（6.1）在另一惯性系中，这两事件的空时坐标为 dN，幼，显卫启禹）,间隔为惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,即乳二卫嵐,/ =貝W, 而当两个惯性系的相对速度卩- 0时，这两个惯性系将等同于一个惯性 系 .因而对任何两个惯性系 , 应当有(6.3)洛伦兹变换 设惯性系盯以速度卩沿惯性系E的x轴正向运动，两 参考系相应坐标轴平行0时两参考系的原点重合(一个事件)，由 (6.3)式，可导出任一事件的空时坐标从系到厂系的变换洛伦兹变 换x( = y(x-vt)(6.4)其中y = l心-用，说(6.5)将(6.4)式中的卩换为-卩,可

3、得逆变换.当卩* j (6.4)过渡到伽俐略变换.因果律与相互作用的最大传播速度洛伦兹变换表明, 时空的测量有相对意义,即测量结果与观测者所处的参考系有关,这是 相对论时空观的一个方面. 另一方面, 是认为事物发展变化的因果关系 有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换而改变,从时间次序来说,就 是在一个惯性系中,作为结果的事件必定发生在作为原因的事件之后, 变换到任何其它惯性系,都必须保持这一时间次序.从这一要求出发,由间隔不变性或洛伦兹变换,可得出推论真空中的光速 c 是自然界一 切相互作用传播速度的极限.间隔分类 在任何一个惯性系中,任何两事件的间隔只能属于如 下三种分类之一：类时间隔，沁

4、;类光间隔应=0；类空间隔0.在一个惯性系中有因果关系的两事件,两者之间必定存在某种相互 作用，其传播速度只能小于c或等于c,因而有因果关系的两事件之间隔 必定类时或类光,变换到任何其它惯性系,绝对保持因果关系,相互作用 的传播速度仍然小于c或等于c,即间隔仍然类时或类光.在一个惯性系 中无因果关系的两事件,间隔必定类空,变换到任何其它惯性系,绝对保 持非因果关系,间隔仍然类空.同时相对性 在某个惯性系中, 如果两事件于不同地点同时发生, 即这两事件无因果关系, 由洛伦兹变换可推知, 在其它惯性系看来, 这两 事件的发生不同时.这意味着,在某个惯性系不同地点对准的时钟,在其 它惯性系看来没有对

5、准.时钟延缓效应在物体静止的参考系中，测得任一过程进行的 时间加，称为这过程的“固有时”.由洛伦兹变换，在其它惯性系E中， 测得这过程进行的时间变慢了：(6.6) 这效应对于两个惯性系来说是相对的，即在E系上看0系的时钟变慢，在0系上看E系的时钟也变慢.但是在有加速运动的情形，时间延缓效应是 绝对效应.尺度缩短效应当物体以速度卩相对于惯性系E运动，若在平行 于运动方向上这物体的静止长度为如,由洛伦兹变换，在E系中测得这长 度缩短为(6.7)这效应对于两个惯性系来说,也是相对的.但在垂直于运动的方向,这一 效应不会发生.时钟延缓与尺度缩短效应, 是在不同参考系中观察物质运动在时空 关系上的客观反

6、映,是统一时空的两个基本属性,与具体过程和物质的 具体结构无关.速度变换 由洛伦兹变换(6.4),可导出物体速度从惯性系E到口 之间的变换(6.8)将卩换为7,可得逆变换.可以证明，若在一个参考系中物体的速度盘弋J 变换到任何其它参考系仍有艮* J仅当卩c ,(6.8)式才过渡到经典速 度变换.6.2 洛伦兹变换的四维形式 四维协变量相对论认为时空是统一的.为此将三维空间与第四维虚数坐标疋4 =说统一为四维复空间(6.9)(6.10)于是当7系以速度卩沿E系的眄轴正向运动时，洛伦兹变换(6.4)可表为s = %vv,冬仪二 12),4重复指标(上式中右方的卩)意味着要对它从1至4求和.变换系数

7、构成的矩阵为(6.11)由于洛伦兹变换(6.10)满足间隔不变性(6.3),亦即不变量(6.12)因此,洛伦兹变换是四维时空中的正交变换,即变换矩阵满足(6.13)（6.10）的逆变换为(6.14)在洛伦兹变换下,按物理量的变换性质分类为：标量（零阶张量，不变量）4(6.15)四维矢量（一阶张量）耳=讣(6.16)(6.17)四维二阶张量例如, 间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明, 每一类四维协变量的 平方都是洛伦兹变换下的不变量.利用这一普遍规律,可将物体的速度 和光速, 能量和动量, 电荷密度和电流密度, 标势和矢势, 电场和磁场等 物理量统一为四维协变量,由此可以清楚地显示出被统一起

8、来的物理量 之间的内在联系, 并将描写物理定律的方程式表示成相对性原理所要求 的协变形式.6.3 相对论力学相对论力学方程 在低速运动情形下, 经典力学方程F =如加在伽利略变换下满足协变性.为使高速运动情况下力学方程也四维速度(6.18)满足协变性, 构造四维力(6.20)(四维加速度s = 园弋)，其中M是三维速度，歹是三维力，歹倔是力的 功率，K是四维力的空间分量.由于固有时血和静止质量视是洛伦兹不 变量，因此、匕和耳都是按(6.16)方式变换的四维协变矢量,于是相 对论力学方程(6.21)在洛伦兹变换下满足协变性.由氏=必扣MF ,这方程包含的两个方程为(6.22)(6.23)相对论质

9、量、动量和能量由方程(6.22)和(6.23)可知,高速运动情形下物体的质量朋、动量应和能量莊分别为(6.24)(6.26)质速关系(6.24)表明，物体的质量険随其运动速度女的增大而增加，即质 量测量与时空测量一样，存在相对论效应.仅当殳y,才有欣三叫，此时 相对论动量(6.25)过渡到经典动量EW 质能关系(6.26)中严是 运动物体或粒子的总能量严代是其静止能量，尸=(吋 叫)八是其相对论 动能.仅当物体或粒子的速度 J才有T三叫/2,即非相对论动能. 质能关系的重要意义在于它表明,一定的质量来源于一定的相互作用能 量.由可推知，静止质量叫芝的粒子，必定有静止能量，因而应当存 在某种深层

10、次的内部结构,物体或粒子的静止质量,来源于其内部存在 的相互作用能量.由多粒子组成的复合物之所以出现质量亏损,便是这 复合物内部的粒子存在一定相互作用能(结合能)的反映.(6.19)式表示的四维动量，是将相对论动量囚和能量莊统一起来的协变矢量：=(曲阮)(6.27)在物体或粒子静止的参考系中，其动量刘二0,能量対=用,在任一 惯性系中，设其动量为囚，能量为莊，由吒的平方是洛伦兹变换下的不 变量, 可得能量、动量和质量的普遍关系式由（6.26）和（6.28）,可得粒子静止质量的一种表达式(6.29)即通过测量粒子的动量戸和动能F ,可计算其静止质量陀。.光子的能量和动量由质能关系（6.26）可推

11、知，以速度盘=c运 动的粒子，例如光子,其静止质量应当为零，即这类粒子应当没有内部 结构.由波粒二象性，光子能量为职=脑，其中为角频率如，血 为普朗克常数.因光子二,由（6.28）式,其动量为卫=伐泌）屁二旅,二（毗）屁为波矢量，札表示光子运动方向的单位矢 量.6.4 电动力学的相对论协变性相对论电动力学方程 定义四维算符(6.30)a_a_及j %=v2(6.31)兀是协变矢量算符丿3尸是标量算符.电流是电荷的运动效应，而电荷 电流是电磁势和电磁场的激发源.因此，有理由将电荷密度戸与电流密 度标势矽与矢势且，电场e与磁场b，统一为四维协变量.四维势比=(山饥)(6.33)其中，带电体静止时的

12、电荷密度处是洛伦兹标量，兀和比均按(6.16)变换. 由B = VxA , E = -V-dA/dt构造电磁场张量孤二&-味几(6.34)它按(6.17)变换.这是一个反对称张量,其矩阵形式为(6.35)0 屍-禺 -晁 0 B1 览-珀 0 iEJc iS2/c iEc构造四维洛伦兹力密度A =必月冲久=月円几=(/妙旳(6.36)它按(6.16)变换，其中孑是三维洛伦兹力密度，E J是电场对电荷作的功率密度.于是,电动力学的基本方程电荷守恒定律兀儿=(6.37)洛伦兹规范兀去=(6.38)麦克斯韦方程W = H討W+叭+兔巧厂0（6.40）能量动量守恒定律仏（6.41）都满足相对论协变性.

13、（6.41）式中，匚是将电磁场的能量密度伸,能流密 度S,动量密度g和动量流密度于统一起来的协变张量：(6.42)矩阵形式为(6.43)势和场的相对论变换在参考系变换下, 电荷与电流存在相对性，电磁势和电磁场必然也存在相对性.当惯性系厂以速度卩沿E系X 轴的正向运动时，电磁势按 = %&变换，即4 =心-尹），爲=冬，堪=厶，0*（诃一吨（6电磁场按弘=耳变换，即= y(E + v冥目)丄(6.45)其中下标表示与运动方向平行的分量，丄表示垂直分量.将（6.44）式 和（6.45）式中的卩改为-卩，即得逆变换.在参考系变换下，电磁波的相位$ =是不变量.构造四维波矢量(6.46)它与四维时空0

14、 =（兀，说）的乘积反映了相位不变性.因此，四维波矢量必 定按力；=5叱变换.当光源沿E系x轴的正向以速度卩运动时，便有& = 丫臥-壬用=耗，虬主，拙=Y0 叭、（6.47）由此可得相对论多普勒效应与光行差的表达式%S3总已(6.48)；f(l-,童 y,(cQsOi +其中， =抄为光源静止参考系系中的辐射频率，曰是波矢駅即辐射 方向与x轴正向的夹角；是在E系中观测到的频率，日是这参考系中辐 射方向与光源运动方向的夹角.6.5 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量静止质量为凤,电荷为e的带电粒子在电磁场中以速度卩相对于E系运动时,粒子的相对论运动方程为童之（应+吓目）dt(6.49)P = = W 为粒子的动量.由B = Vx A, E = _V旷dA/冼，可导出粒子的拉氏量L = -msc2/y- v - A)(6.50)而陋和作用量S都是洛伦兹变换下的不变量:(6.51)S=Ldt = yLdT(6.52)由广义动量的定义匕=皿，,可得粒子的正则动量戸和哈密顿量H：(6.53)H = P v L =/ + 賦/ + 舀甲(6.54)于是拉格朗日方程(6.55)和正则运动方程厂西，厂鬲(6.56)均与方程(6.49)等价.哈密顿量(6.54)第一项是粒子的相