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1、 第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(第一课时)学习目标使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.合作学习一、设计问题,创设情境德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,18501909)
2、,他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.时间间隔t0分钟20分钟60分钟89小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%观察这些数据,可以看出:记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量(时间间隔t)逐渐增大时,你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗?描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的?你能用数学符号来刻画吗?通过这个实验,你打算以后如何对待
3、刚学过的知识?二、自主探索,尝试解决记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.问题1:如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?问题2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义?问题3:如何理解图象是上升的?问题4:在数学上规定:函数y=x2在区间(0
4、,+)上是增函数.谁能给出增函数的定义?三、信息交流,揭示规律1.增函数的定义问题5:增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f(x1)x2时,都有f(x1)f(x2)”,这样行吗?问题6:增函数的定义中,“当x1x2时,都有f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数的图象有什么特点?问题7:类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?2.减函数的定义减函数的几何意义:问题8:函数y=f(x)在区间D上具有单调性,说明了函数y=f(x)在区间D上的图象有什么变化趋势?四、运用规律,解决问题【例1】如图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每
5、一单调区间上,它是增函数还是减函数?【例2】物理学中的玻意耳定律p=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.【例3】(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象;(2)证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数;(3)当函数f(x)在区间(-,m上是增函数时,求实数m的取值范围.五、变式演练,深化提高1,已知函数f(x)是R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数;(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.2.(1)写出函数y=x2-2x的
6、单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(3)定义在-4,8上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察:在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.3.已知f(x)是定义在(0,+)上的减函数,若f(2a2+a+1)f(3a2-4a+1)成立,则a的取值范围是.六、反思小结,观点提炼1.本节课你有哪些收获?函数的单调性概念明白了吗?常用的判断
7、、证明方法有哪些?2.你对自己本节课的表现有何评价?3.你在与同学的交流中有何感受?4.你对本节课还有哪些困惑和建议?七、作业精选,巩固提高课本P39习题1.3 A组第2,3,4题.参考答案问题1:函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.问题2:函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.问题3:按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变
8、大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.问题4:增函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.问题5:可以.增函数的定义:由于当x1x2时,都有f(x1)f(x2),即都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“x2时,都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”,也就是说前面是“”,后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为:步调一致增函数.问题6:函数值随着自变量的增大而增大;从左向右
9、看,图象是上升的.2.减函数定义(板书)一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为:步调不一致减函数.减函数的几何意义:从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:函数值随着自变量的增大而减小.问题8:函数y=f(x)在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小),几何意义:从左向右看,图象是上升(下降)的.四、运用规律,解决问题【例1】解:函数y=f(x)的单调区间是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函数y=f(x)在区间-5,2),1,3)上是减函数,
10、在区间-2,1),3,5上是增函数.点评:本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.图象法求函数单调区间的步骤是:第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.【例2】证明:设V1,V2(0,+)且V10,V10,V20.0,p1p2.根据减函数的定义知p=在(0,+)上是减函数.点评:本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单
11、调性.定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1x2;第二步,比较f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号;第三步,再归纳结论.定义法的步骤可以总结为:一“取(去)”、二“比”、三“再(赛)”,因此简称为“去比赛”.【例3】解:(1)函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示.(2)设x1,x2(-,1,且x1x2,则有f(x1)-f(x2)=(-+2x1+3)-(-+2x2+3)=(-)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).x1,x2(-,1,且x1x2,x1-
12、x20,x1+x20.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数.(3)函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间(-,m位于对称轴的左侧时满足题意,则有m1,即实数m的取值范围是(-,1.五、变式演练,深化提高1.解:(1)设x1,x2R,且x1x2.则F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函数f(x)是R上的增函数,x1x2,a-x2a-x1.f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x
13、1).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)0.F(x1)F(x2).F(x)是R上的增函数.(2)设点M(x0,F(x0)是函数F(x)的图象上任意一点,则点M(x0,F(x0)关于点(,0)的对称点为M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)=f(a-x0)-f(x0)=-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),点M(a-x0,-F(x0)也在函数F(x)的图象上,又点M(x0,F(x0)是函数F(x)的图象上任意一点,函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.2.解:(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-,1),单
14、调递增区间是(1,+);对称轴是直线x=1;区间(-,1)和区间(1,+)关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-,0),单调递增区间是(0,+);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-,0)和区间(0,+)关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(3)函数y=f(x),x-4,8的图象如图所示:函数y=f(x)的单调递增区间是-4,-1,2,5;单调递减区间是5,8,-1,2;区间-4,-1和区间5,8关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反,区间-1,2和区间2,5关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间a,b上是增函数,区间a,b关于直线x=m的对称区间是2m-b,2m-a.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(
