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1、数列中的不等式问题江苏省启东中学张杰数列和不等式是历年高考的热点， 由于它们具有 知识上的综合性、题型上的新颖性、 方法上的灵活性、思维方式上的抽象性 ”等特点，交汇综合成为高考的重中之重 ，其命题 趋势是：（1）以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.（2）以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法 ）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖 别致，难度相对较大.题型一利用不等式性质求数列元素的最值例1.（2011江苏试
2、题13）设1 a! a2a7，其中a!,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，贝U q的最小值是 分析：求解数列中的某些最值问题，可结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.本题如将q看作目标函数,可用上述方法（1）或(2)来求解。解析：由题意1印a?aqa?12小aqa22ag3得1a2qa221 q a223q ,方法一：在直角坐标系中，若以（a2，q）为点，作出其可行区域，其目标函数就是求 q的最小值，因直线a2
3、1与曲线a2 q ,a2 1 q ,a2 1 q2, a2 2 q2 , a2 2 q3的交点分别为（1,1）,（1,2）,（1八2）,（1八3）,（1汽3）,从而满足上述不等关系的qmin3 3.方法二 欲使q值最小，首先取 a2 1，从而得q max 1. 2,3 3 , q min 2, 3 , 因J2 V3J3，故公比q的的最小值是V3。点评：数列与不等式的小题，主要是运用基本不等式、不等式的性质、线性规划等求范 围或最值本题明为数列，实为不等式问题，着力考查了转化化归和数形结合思想.第#页共8页拓展变式：已知正数数列a2n i （n3）的所有奇数项成公比为q（q 1）的等比数列，所有
4、偶数项成公差为1的等差数列，且1aia2a3a2n1,则满足条件的n可取哪些数值，其公比q的的最小值是多少解析：由题意得1 a2 qa21a22 q3a21 qn ,欲求q的的最小值，显然取a21,从而有q max1,、2,3 3,n nq min2, . 3,3 4,n 1 n1构造函数f(x) lnxxIn x，当 x 3时，因 f(x) xIn x2X0,于是f（x）为单调减函数，从而3In 44同理构造函数g(x)In旦，即3 34 4n-可证2. 33 41nn,又23 3，故 q 3 3 ；n1n,故 q n1n,再由3 3 n 1 n得3n 13n ,取 n 3,4,5成立，当
5、n6时不成立,综上所述,满足条件的可取3,4,5,其公比q的的最小值是3 3 .题型二通过比较或放缩证数列中元素的不等关系2例2.（2009安徽卷文）已知数列an的前n项和Sn 2n 2n ,数列bn 的前n项和Tn 2 bn，（i）求数列 an与bn的通项公式；2（n）设cn an bn，证明：当且仅当n 3时，Cn 1 Cn.分析：数列参与的不等式的证明问题常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法证明；（3）放缩法，利用迭代法、累加法、累乘法构建关系进行放缩本题根据数列前 n项和公式得ana1,(n1)SnSn 1
6、, (n2），可求数列an与*的通项公式，进而求得数列Cn的通项,再用比较法（作差或作商）证其大小关系。解析：（1）由于q 42 2 *当 n 2 时，an s. s. 1(2n2n) 2( n 1)2(n 1) 4n am 4n(n N)又 bi2bi得 bi1，当 n 2 时由bnTnTn 1bn1 bn ,2bnbn1数列bn项与等比数列，其首项为1,公比为12bn(2)n22由(1)知 Cnan bn 伽1方法一：由 cn 1 cn 16(n 1)2 q)n16 (：)n(n 1)2 2n216 (：)n2 216n2(1)n1(n1)22，当 n 3 时，Cn 1 Cn0，从而Cn
7、1Cn方法二因16(n1)2 (2)(n ”Cn(n16n22n22由 cl_L 1 得 0 H 1 即 n2 2nCn2n因此，当且仅当n3 时,Cn 1 CnC即n 3时11恒成立.-又CnCn点评：利用比较法比较两数大小时，作差比较是通法，而作商比较的前提条件是“各项为正”，即若a,b 0,则当-1时a b，当-1时a b。第(2)小题的方法二,bb1 1 2也可从函数的单调性证之，即由f(n) (1)2是单调递减函数可知，当 n 3时,2 n8cn 1f(n)max f61，所以石1，得证。拓展变式：条件同原题，试证：Ci c2 c3cn 372, n N证明：由条件得c116, c2
8、32,c336，从而当n3时，上述不等式显然成立,又当n 3时，由血8 得9得Cn8Cn 1936(9)n3，于是Cn88 n 3C1 C2C3Cn 16323636 -36()9948362n8 - 923o723题型三根据不等关系的约束条件探究数列存在性例3(2010江西理科22)证明以下命题：对任一正整数a,都存在整数b,c(bc)，使得a2, b2，c2成等差数列。2 2 2(2)存在无穷多个互不相似的三角形n，其边长an，bn, cn为正整数且an, bn，Cn 成等差数列。分析：数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前
9、提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则 假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果也可直接推理判断是否存在本题通过类比的数学思想构造数列，证其存在性。证明：(1)易知12,52,72成等差数列，故a2,(5a)2,(7a)2也成等差数列，所以对任一正整数 a，都存在正整数b 5a,c 7a,(b c)，使得a2, b2,c2成等差数列.22 22 22 2(2)若an,bn,Cn成等差数列，则有ga.Cn0，(bn an)(bnan)(Cn bn)(Cn0)选取关于n的一个多项式，例如 4n(n21)，使得
10、它可按两种方式分解因式，由于4n(n21)(2n22)(2 n 2n)(2n22)(2 n 2n)因此令anbn22n 2n cn bnJ2n2 2nbnan2n 2Cn bn2n 2ann2 2n 1可得bnn2 1(n4)Cnn2 2n 1易验证an,b n , c n满足，因此2.2 2 an,bn,Cn成等差数列,2当 n 4 时，有 an bn cn 且 a“ bn n 4n 1 0因此an，bn，Cn为边可以构成三角形.其次，任取正整数 m,n (m,n 4,且m n)，假若三角形m与n相似，则有:22m2m1m122n22n1n212m 2m 12n2 2n 1据比例性质有:n)
11、互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角2 m12 m2m1 (m22m1)(m21)m12 n12 n2n1(n22n1)(n21)n12 m12 m2m1 (m22m1)(m21)m12 n12 n2n1(n22n1)(n21)n1所以m1m 1，由此可得mn ,与假设mn矛盾,n1n 1即任两个三角形m 与 n (m, n 4, m2 2 2形n ,其边长an,bn,Cn为正整数且a* ,b n, 6成等差数列.点评：类比推理是中学数学的重要方法，它通过观察、比较，然后联想、类推，猜测新的结论。本题中，通过对第(1)小题的观察，联想到我们在初中数学中已学习了勾股数”的相关知识，如一个三角
12、形的边长形如3k,4k,5k(k N*)的特征,则此三角形为直角三角形，考虑到结构要证 a2 c2 2b2，类比勾股数进行构造；而对于第(2)问，也联想到形如n1,2n,n1 (n 1, n N)的数组成了 勾股数”，从而结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似且无 穷，且要注意它与第(1 )问的区别是增加了约束条件“an, bn, cn为三角形的三边”，从而必须满足“两边之和大于第三边”这一不等关系。拓展变式：已知 an n2 2kn k2, bn n2 k2, cn n2 2kn k2 ,(n,k N *)。2 2 2试证：an , b
13、n , Cn成等差数列。证明：因 an2 (n2 2kn k2)2 (n2 k2)2 4kn(n2 k2) 4k2n2,Cn2 (n22knk2)2 (n2k2)2 4kn(n2k2)4k2 n2所以 an2cn22(n2k2)24k2n22(n2k2)2 2bn2，于是 a.2, bn2, c*2成等差数列； 题型四 建立不等关系求解数列应用模型例4.(2011湖南文科20)某企业在第1年初购买一台价值为 120万元的设备M, M的价值 在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初 M的价值比上年初减少 10万元；从第7年开始，每年初 M的价值为上年初的 75%(I )求第n年初M的价值an的表达式；(II )设A ai邑上_ ,若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初n对M更新，证明：须在第 9年初对M更新.分析：根据题意可知，第2年到第6年年初M的价值构成一个等差数列，从第7年开始 年初M的价值构成等比数列了 ，由此写出第n年初M的价值an的表达式，并通过其通项公式 计算An后证之.解析：(I )当n 6时，数
