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1、第五讲 向量空间教学目的：1. 介绍向量空间的狭义概念、向量空间的线性结构、线性子空间；2. 引进空间的基本度量，介绍正交及规范正交基的概念（正交阵在下一次讲） 教学内容：第五章 向量空间教材相关部分：本章首先从Rn中向量的线性关系出发，建立起向量空间的概念，然后通过定义内积建立起向量空间的度量关系。 5.1 向 量 空 间第三章讨论了 Rn中向量的线性运算、向量组的线性相关性等，而对向量关系更广泛的讨论和应用常需要完备的向量组，这就是本节所要讨论的向量空间。一、向量空间的定义定义5.1设V为Rn的一个非空子集，如果V满足：（1）V对加法运算是封闭的，即V中任意两个向量的和向量仍在V中；（2）
2、V对数乘运算是封闭的，即V中任意向量与任一实数的乘积仍在V中； 就称V关于向量的线性运算构成（实数域上的）向量空间。向量集合对加法和数乘运算封闭常常称它满足完备性，又由第三章定义3.2知道向量的线性运 算必满足规范性的八条性质，因此，向量空间具有完备性与规范性。容易验证以前所提及的向量集R1、R2、R3和Rn本身都是典型的向量空间。例5.1设V = Lx =（x,x ,0）T Ix ,x e R ,则V显然非空。下面验证其封闭性：1 1 21 2 1VX, Y e V , k, l e R, n kX + lY = （kx + ly , kx + ly ,0） e V1 1 1 2 2 1因此
3、Vi关于Rn中的线性运算构成向量空间。事实上，Vi是三维立体空间R 3中的xiOx2坐标平面。例5.2设V = X = （x ,x ） TI x e R, x二1 ，它关于Rn中的线性运算是否能构成2 I1niiIi=1向量空间？解 V是Rn的子集，容易发现V不封闭：若工x = 1、工y = 1,贝I22ii+ y )=工 xiiy = 2工1；i同时V2中也没有零元，因为Y 0H 1 ;而若E xi = 1，则工（-弓=-1丰1，故V2中的元素也没有负元。这几条中的任何一条都足以表明打不能构成向量空间。例5.3设V = X = (x,.,x )T I x e R, x = 0它关于Rn中的线
4、性运算是否构成向31 n ii=i i J量空间？解VX 二(x,XT)Y,二y (，y,TeV，应有工x = 0、工y = 0。Vk, /g R，线性1 n1 n3iinn组合 kX + lY 二(kx + ly ,kx + ly )满足工(kx + ly ) = k(工 x ) +1(工 y ) = k0 + 10 = 0，1 1 n n i i i i故kX + IY丰；零元存在：上式中取k二心0即是；X的负元存在：上式中k 一】，心0即是。于是V关于Rn中的线性运算封闭，故能构成向量空间。3从几何上看，V是Rn中经过原点的一张超平面。V虽也是一张超平面，但不经过原点。 32由这些例子可
5、以看到，不仅Rn是空间向量，Rn的某些子集也可以构成向量空间，只要它们关于Rn的线性运算满足封闭性。二、向量空间的基和维数定义5.2设V是一个向量空间，a，,a是V中的一组向量，如果满足：1ra，,a线性无关；1r（2） V中的向量都可以由a，,a线性表示；1r则称a，,a是V的一个基，称r为V的维数，称V是r维向量空间，记作dim（V） = r。1r例5.4在R1中，1就是一个基，所以R1是一维向量空间；在R2中，（1, 0）、（0，1）是一个 基，所以R2是2维向量空间；在R3中，（1,0,01、（0,1,01、（0,0,1是一个基，所以R3是3 维向量空间。在Rn中的基本向量 =（1,0
6、,0,8 =（0,1,0,8 =（0,0,1就是一12n个基，所以Rn是n维向量空间。例55在例5.1中，（1, 0，0）、（0，1，0）可作V的基，故V是2维空间；而在例5.3中，11a =（1，1,0,0,0）T、a = （0，1，1,0,0）T、a= （0,，。丄1）t 可作 V 的基，故12n13V是n 一 1维空间。3向量空间的极大无关组就是一个基，该空间中的任何向量都可以由基线性表示，且表示式是唯一的，这唯一的表示系数，也就成了这个向量在该空间中的一个指标。定义5.3设V是一个向量空间，a，,a是V的一个基，a e V，若a可由这个基表示为:1ra = x a11a )1x )1+
7、 x a = (x ,x )(或(a).r r 1 r1ra r丿x丿r)(5.1)则称表示系数（x ,x ）为a在基a，,a下的坐标。1 r 1 r例56 在R1中，若以1为基，则任一实数的坐标也就是其本身;在R2中，若以（1，0）、（0）为基，则向量X =宀x2）的坐标也就是其本身;在 R3 中之下的坐标也就是其本身。在上面三种我们最熟悉的空间中，这三组基是标准基，但如果改用别的基，坐标会相应地发生 变化。例5.7若在例5J中取a 1二（10,0） t、a 2二（O,1,O）T作V1的基而在例5.3中取二（1 1,0,0,、a 2 二（0,1,1,0,、a n_1 二（。，。丄1）Ta )
8、 1 00、1= (k , k )010丿a丿12n作V的基，试分别求V中向量x二（x , x ,0）T、V中的向量x二（x,x ）T在所取基之下的坐标。 3 1 1 2 3 1二（x1，S0），解得:解在 V 中，令 X = k a + k a = (k , k )1 1 1 2 2 1 2（k1，k 2） = （x1，x2），这就是向量x = （x1，x 2，0）在所取基之下的坐标。在V3中，为便于解方程组，我们将所有向量写成列向量，令i=1aii= (a ,a , a )1n1(k1k2I kn1 丿10 0、k )1 .1k-1 02 1k0 1丿I n-1 丿00k 11k2=x11
9、x + x1 2、k ,、x + x HF x 丿xn丿容易解得n 112n 1，这便是所求的坐标。三、向量空间的子空间：定义5.4设V是向量空间U的一个子集，如果关于U中的线性运算，V也能构成向量空间， 则称V是U的一个子空间。作为子集，显然有r(V) r(U)，因此dim(V) dim(U)。V的任一个基必含于U的某一个基之中，因而总可以扩展为U的一个基。在上面各例中，V是R3的一个2维子空间；V是Rn的一个n -1维子空间。13例5.8设Q、卩丘Rn, a、卩的所有实系数线性组合的集合记作U = lx 二 x a + x p I x e R, i 二 1,2 ，12 i试证：U关于Rn中
10、的线性运算构成向量空间。证 VX, Y e U, Vk, l e R，记 X = x a + x p, Y = y a + y p，贝ij kX + lY =1 2 1 2=(kx + ly )a + (kx + ly )p，且 kx + ly e R, i = 1,2，故 kX + lY e U。因此，U 关于 Rn1122i i中的线性运算构成向量空间。注意到U是Rn的子集，称此空间为由a、P所生成的子空间(或称为a、P的生成子空间)，记作U = Span(a,卩)；a、p称为它的生成元。生成空间的概念是一个重要的概念。事实上任何向量空间都可以表达为它的任一个基的生成空 间。例59设齐次方
11、程组AX =0，记它的解集为X =X I AX =9 。证明X关于向量通常AA 的线性运算构成向量空间。证 VX,Y e X ，有 AX =0、AY =0，则 A(X + Y) = AX + AY =0+0 =0 ； Vk e R，A亦有A(kX) = k(AX) = k(0) =0，于是X是完备的，关于向量通常的线性运算构成向量空间。A称X为齐次方程组AX =0的解空间。若A e Rmxn，则X的维数为dim(X ) = n-r(A)(见AAA第四章定理4.19),基础解系g，,g 就是X的一个基，通解X = tg + t g 就是空间1n-rA1 1n -r n -r的生成形式，于是解空间
12、 X 也可以写作基础解系的生成空间的形式：AX = X = t g + + t g 11，,t e R = Span(g ,g )，A1 1n-r n -r 1n - r1n -r它是Rn的一个n r维子空间。特别地，若r = n，则AX =0只有唯一零解，X ,故X没AA有基，即AX =0没有基础解系，因此dim(X ) = n r = 0，是Rn的一个零维子空间。A例 510 试证：dimSpan（a ,a ）二 r（a，,a ）。1 s 1 s证 记U二Span（a，,a ），则VX e U , X可由a，,a线性表示。若a，,a线性无1 s 1 s 1 s关，它们就是U的一个基；若a，
13、,a线性相关，则可取它们的一组极大无关组，不妨设为 1sa，,a，则VX e U，X亦可由a，,a线性表示，故a，,a就是U的一个基。总之得: i i i i i i1r1r1rdimSpan（a ,a ）二 r（a ,a ）。1 s 1 s定理 5.1 等价的向量组生成同一个向量空间。证 设同维向量组（I）: a，,a 与向量组（II）: P，P 等价，并记 1 s 1 tU 二 Span（a，,a ）、V 二 Span ,，p ）。VX e U，X 可由a，,a 线性表示。因（I）1 s 1 t 1 s与（II）等价，则X亦可由p，,p线性表示，故X e V，从而U匸V。反之，VY eV，
14、Y可 1t由p，p线性表示。因与（II）等价，Y亦可由a，,a线性表示，故Y e U，从而U V。 1 t 1 s总之得U二V。52向量的内积与正交性本节我们将定义向量的另一种运算内积，并讨论向量空间的度量关系和正交性。我们规定 此后所有的向量都专指列向量，行向量作为列向量的转置。一、内积与基本度量定义 5.5 V X =r x)1,Y =jr y 1e R ，定义它们的内积为x丿n y丿n5.5)X,Y= x y + x y HF x y x y eR。n ni=1X, Y= E x y 二 x y + .+ x yii11nni=11=(x，,x ):5.6)定理 5.2向量的内积满足以下运算律:1）交换律：X, Y=Y, X；ii2） 对加法的分配律： X,Y
