Lotka-Volterra模型

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1、Lotka-Volterra模型Lotka-Volterra模型 20世纪40年代，Lotka（1925）和Volterra（1926）奠定了种间竞争关系的理论基础，他们提出的种间竞争方程对现代生态学理论的发展有着重大影响。 Lotka-Volterra模型（Lotka-Volterra种间竞争模型）是对逻辑斯蒂模型的延伸。现设定如下参数： N1、N2：分别为两个物种的种群数量 K1、K2：分别为两个物种的环境容纳量 r1、r2 ：分别为两个物种的种群增长率 依逻辑斯蒂模型有如下关系： dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1） 其中：N/K可以理解为已经利用的空间（称为“已利

2、用空间项”），则（1-N/K）可以理解为尚未利用的空间（称为“未利用空间项”） 当两个物种竞争或者利用同一空间时，“已利用空间项”还应该加上N2种群对空间的占用。则： dN1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1 - N2 / K1） （1） 其中，：物种2对物种1的竞争系数，即每个N2个体所占用的空间相当于个N1个体所占用空间 则有，：物种1对物种2的竞争系数，即每个N1个体所占用的空间相当于个N2个体所占用空间。则另有： dN2 / dt = r2 N2（1 - N2 / K2 - N1 / K2） （2） 如我们所知： 当物种N1种群（物种1）的环境容纳量为K1时，N1种群中

3、每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K1； 同理，N2种群中每个个体对自身种群的增长抑制作用为1/K2。 另外，从（1）、（2）两个方程以及、的定义中可知： N2种群中每个个体对N1种群的影响为：/K1 N1种群中每个个体对N2种群的影响为：/K2 因此，当物种2可以抑制物种1时，可以认为，物种2对物种1的影响 物种2对自身的影响，即 /K1 1/K2。 整理后得：K2 K1/，同理有： 物种2不能抑制物种1：K2 K2/ 物种1不能抑制物种2：K1 K2/）物种1不能抑制物种2 （K1 K1/）两物种都有可能得胜 （结果3）物种2总是得胜 （结果2）物种2不能抑制物种1 （K2 K1/）物

4、种1总是得胜 （结果1）两物种都不能抑制对方 （结果4：稳定平衡）那么，当N2种群达到何种密度时，刚好使N1种群保持在0水平上？换言之，每个种群达到什么样的密度时才能阻止另一个种群的增长呢？ 结论是，N2种群达到K1/，N1就再也不能增长 或者说，N1种群达到K2/，N2就再也不能增长 可以得到两个物种的各自的平衡线如下： 将两平衡线叠合起来，则得到四种不同的结局： 何为平衡呢，就是N1和N2种群的数量都不发生变化，即： 1 / dt = r1 N1（1 - N1 / K1 - N2 / K1）= 0 （1） 2 / dt = r2 N2（1 - N2 / K2 - N1 / K2）= 0 （2） 满足两个方程时，两种种群平衡，则显然焦点既是平衡点。 那么，对于结果1和结果2，两个种群的平衡线没有焦点，则不可能达到平衡，总是有一方最终被完全排挤掉。 结果3虽然存在一个平衡点，但是很不稳定，只要自然条件的微小波动造成偏离平衡点，那么其中占优的一方就会最终取得生存竞争的胜利。 结果4是一个稳定的平衡，无论N1和N2种群数量的组合（N1，N2）落在直角坐标系内哪一区域，最终都将使得N1种群和N2种群的数量趋向平衡点。