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1、高等院校非数学类本科数学课程大学数学（三）多元微积分学14讲对面积的曲面积分课件制作:脚本编写:第二章多元函数积分学第五节对面积的曲面积分本节教学要求：正确理解对面积的曲面积分的概念和物理背景。熟悉对面积的曲面积分的计算方法。本节关键權念和理论铲面积元素样对面积的曲面积分样对面积的曲面积分的计算一. 对面积的曲面积分的物理背景对面积的曲面积分的定义和性质二. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的物理背景7/设有一质量非均匀分桶勺光滑薄壳(曲面)构件2,其密度“是21上点的连续函数：卩=/(x,y,z)(x,y,z)w2求曲线构件厶的质量.ZS将构件简化为数学中具有质量的曲面仿照
2、质量非均匀分布蚀线构件的质量计算方去：分割-近似求和一取极限.B第一步分割第二步ifi似雷第三步求和a第四步取极限对面积的曲面积分的定义和性质设函数/（%,幵Z）是定义在曲面2上的有界函数.将任意分成n个小块S”（z=l,2,n）,每个小块的面积记为/S，并记兄=max/S若极限1ini=存在，且极限值与对曲面T的分法和点（纟,7；,.,G的取法无关，则称该极限值为函数/（x,y,z）在曲面为上对面积的曲面积分,记为/（兀y,z）dS=烛f,5）羽.F/=1对面积的曲面积分的记号X=1一对面积的面积积分号；定义在曲面工上为If(x,y,z)dS被积表达式；f(x,y,z)被积函数；dS曲面面积
3、兀素;一积分曲面.如果积分曲线为一张封刑曲面2则积分记为曲/(,z)d5=iimy($,口,匚.zr=l对弧长的曲线积分的性质如果刀和爲是光滑曲面，则）dS=JJ7（兀JZ）dS+JJ/（兀ydS|7cw当f（x,y.z）=i时，|7（2Z）dS=jdS=Z（丨2丨为曲面的面积）.自己证明（参照二重积分）.一. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的iW兰结2相应的二重积分计算回忆二重积分应用中说算曲面面积的公式设曲面的方程为Z=z(x,y),21在厂平面上的投影区域为比,则曲面的面积丨21的计算公式为11=JJ1+z+Zydxdy.xyZX曲面的曲面面积元素为-dS=”1+zj
4、+z；2dxdy./J、你应该能推岀对面积的曲面积分的计算公式了.、X.丿1.Oz=2在兀y平面上的投影区域为%,则Jfy,z)dS=ff/(x,y,z(x,y)J1+zj+dxdy.Exy2.22兀（皿），在yz平面上的投影区域为Dyz,则ff/(兀y.Z)dS=jj/Wy,Z仏2)1+町+工2dydz.工4Z:y=yCx，z）,在口平面上的投影区域为2则|7(兀w)dS=|7(兀y(x,z),z)yl1+Z2+y?dxdZ设X是球面x2+y2+z2=a1被平面z=h(0ha)dS截出的顶部，求解2；的方程为z=yla2-x2-y2.2在xy平面上的投影区域D；为x2+y2+z2=a2Z=hl+zj+Z：dxdy=乂dS=zx2+y2a2-h2.adxdya2-x2-y2dxdadxdy工DXyadxdyzXDxy222a-x-y2=2/zrzhhZ=x2+y2Z=2囲计算JJ(x2+/+z)d5,其中为曲面z=x2+y2在lz0,z0,y+z0,z0,x+z0,y0,x+y0,y0,z0,x+y+z=i,则2=乙+厶+厶+2；.B1的计算2的计算B3的计算4的计算dS+x+y)2dS(1+W)2+l)ln2
