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1、第八章多元函数第8章 多元函数的微分法及其应用8。1 多元函数的基本概念一、 填空题1已知 ，则f(x,y)= .2函数的定义域为 。3= 。二、 判断题1 如果P沿任何直线y=kx趋于(0，0),都有，则. （ ）2 从和知不存在。 （ ）3 下面定义域的求法正确吗?解：所以定义域为x1/2的一切实数。三、 选择题1 有且仅有一个间断点的函数是( ）（A）、 （B）、 （C）、 （D）、arctanxy2.下列极限存在的是（ )(A)、 （B）、 (C）、 （D)、四、 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。1 2. 3五、 求下列极限，若不存在,说明理由。1 2. 38。2 偏导数一、
2、判断题1 如果f（x，y）在(x0，y0） 处，存在，则一元函数f（x,y0）在(x,y0）处连续. （ ）2 如果f在P处不连续，则f在点P偏导数均不存在。 （ ）3 （ ）二、 填空题1. 设f(x，y)=,则 。 。2. 设u(x，y）有对x,y的连续偏导,且当y=x2时， y=x(x）时,= 。三、 选择题1. f(x,y）在（x0,y0）处，均存在是f（x，y)在(x0,y0）处连续的（ )条件。（A)、充分 （B）、必要 （C）、充分必要 （D）、既不充分也不必要2 已知0，则（ )（A）、f(x,y）关于x为单调递增 (B）、f(x,y）0 (C)、0 (D)、f（x，y）=x(
3、y2+1)3。设函数Z=f(x，y）, =2，且f（x，0)=1， x，则f(x，y）=( )(A)、x2+xy1 （B）、y2+xy+1 （C）、y2+xy+c (D)、x2+xy+y2+1 四、 求下列函数的一阶偏导数.1。 z 2。 u3。u= 4.F(x,y)=5.z=（1+xy)xy 6。f(x，y)= 五、 求下列函数的二阶偏导数。 1.z=x4+y44x2y2 2.u=ln 3。u= 4。 六、 设z=,求证：七、 若u=，求证:八、 求f（x,y)=在（0，0）点的偏导数.九、 设f(x，y，z）=xy2+yz2+zx2,求, 。8。3 全微分及其应用一、 判断题1。如果f(x
4、,y）在(x0，y0)满足条件：，存在且连续，则f（x,y)在（x0，y0）可微.（ ）2。f(x，y）有二阶连续偏导且df=P（x,y)dx+Q（x，y）dy，则 ( ）二、 填空题1.F(x,y，z)=，则df（1，1,1）= 。 2。设Z=ln(x+y2),则= 。三、 选择题1 在点P处，f可微的充分条件是( ）（A）、f的全部二阶偏导连续。 (B）、f连续 （C）、f的全部一阶偏导连续。 （D)、f连续且，均存在 。 2 肯定不是某个二元函数的全微分的为（ ）（A）、ydx+xdy (B)、ydx-xdy (C）、xdx+ydy （D）、xdx-ydy3。使的函数f为（ ）（A）、a
5、x+by+c （B）、sinxy （C）、ex+ey (D)、x2+y2 四、 求下列函数的全微分。1。z=exysin(x+y) 2。u=xxyz3.z= 4.五、 设讨论f(x，y)在（0，0）（1）.偏导数是否存在。 （2）.是否可微。 8。4 多元复合函数的求导一、 判断题1f（x，y）具有一阶连续偏导,u=f（x，y，z）则= （ ）2设z=z(x,y)有二阶连续偏导,变换把6+-=0简化为=0， 则常数a，b满足条件：a=3，b=3 ( ）二、 填空题 1. z=xy+x3，则+= 。2. z=，其中f(x,y)可微，则= .3. 设有二阶连续导数。则= 。三、 选择题1设z=si
6、n(xy2)，则+=（ ）（A）、cos（xy2） （B)、2ycos(xy2） (C）、2xcos(xy2） （D）、ycos(xy2）2.z=f（x，y,z) ,则=( )(A)、 （B）、/ （C)、/（1-) （D)、（+)/(1-）四、 设u=，z=x2siny,求,。五、 设u=f（xy，x2+y2)且f可微，求，。六、 设。七、 已知z=f（x2y,ln（xy）), ，.。八、 设z=f(u,x,y),u=xey.f有连续偏导，求，。九、 若z=f（ax+by）,f可微,求证:b-a=0。十、 若f（x+y,x-y)=x2y2,求证：+=x+y十一、 u=xf(2x+3y,ey+
7、z）,求十二、 设函数u满足+=0，作变换,求证：=08。5 隐函数求导一、 填空题1 由方程确定的函数z=z（x,y）,在点（1，0，1)处的全微分dz= .2。设zsin(x+2y3z）=x+2y-3z,则+= 。3。设，其中可微，则= 。二、选择题1 设z=z(x,y)由方程F（x-az，y-bz）确定，其中F（u，v）可微,a，b为常数,则（ ）（A）、a-b （B）、b-a （C）、a+b （D)、b+a2 设z=z(x，y）由方程x2+y3-xyz2=0确定，yx+y=( )（A)、 (B）、 （C)、 （D）、三、设确定y 与x的函数。用两种方法求。四、由x+y+z=确定z是xy
8、的函数，求dz。 五、33xyz=a3,求。六、 设,求，。，。七、设z=f(u）,u=（u)+确定u=u（x-y)，连续且可微，求证：P（u）+P(x） =0八、设f(x，y）=,求证:-+=0。8.6 微分在几何上的应用一、 判断题1为曲线T在t0处的切向量，则也为切向量。 （ ）2曲面F（x，y，z)=0一般有两个法方向,如果FZ0,法向量=Fx，Fy，Fz一定指向曲面。（ ）3xoy平面中曲线F(）=0的一个法向量为Fx，Fy(如果Fx，Fy不全为0）。 （ )二、 填空题1曲线x=t3，y=t2，z=t在点（1，1，1）的切向量= .2x2+y2+z2=12在点（2，2，2)的切平面
9、方程为 。三、 选择题1 曲面Z=F(x,y，z）的一个法向量为( ）（A) （B）（C） （D)2 旋转抛物面z=2x2+2y24在点（1，1，0）处的法线方程为（ )（A） （B）（C） （D)四、 求曲线l：x=cost，y=sint,z=2t在t=处的切线和法平面方程。五、 求曲线在点M0（）处的切线方程。六、 求曲面Z=xy在(1，2，2）处的切平面与法线方程。七、 求曲线x=t2,y=t，z=t3上的点使该点的切线平行于平面2x+y+z=4。八、 设M（1，-1，2）为曲面Z2=上的一点，且,，求曲面在点M处的切平面指向该曲面下侧的法向量轴正向的夹角的余弦。九、 求证Ax2+By2+Cz2=D上任一点（x0,y0,z0）处的切平面方程为Ax0x+By0y+Cz0z=D.8。7 方向导数与梯度一、 判断题1平行于z轴，则。 （ ）2若均存在，则 任何方向的方向导数均存在. ( ）二、 填空题1函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与 ,而它的模为方向导数的 。2设f（x,y，z）=ln（x2+y2+z2)，则 。三、 选择题1设是曲面2x2+3y2+z2=6在点P（1，1，1）处指向外侧的法向量,则在点P沿方向的方向导数为 （ )(A) （B) （C） （D）22.已知V=（x,y，z）= ( )（A) (B）（C）2x,2y，2z (D）
