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1、谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用 . 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正 确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数 . 实际上，能用来 证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定 理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法 . 首先对罗尔中 值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述.1罗尔(Rolle冲值定理如果函数f (x)满足条件：G)
2、在闭区间订上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f C)= f (), 则在(a,方)内至少存在一点匸，使得广)二0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y = f G)在点A,B处的纵坐标相等，那么，在弧 Ab上至少有一点C (匚，f(匚)曲线在C点的切线平行于x轴，如图1，若 函 数f(x)满足如下 条 件： (1) 在 闭 区间a,bl上连续；(2)在开区间(a, b)内可导;注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备就一定不存在属于(a，b)的:，使得广 d 0 . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2 拉格朗日(lagr
3、ange )中值定理拉格朗日中值定理的几何意义：函数y = f G)在区间la,b上的图形是连续光滑曲线弧AB上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB .如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若fG)在闭区间L，b两端点的函数值相等，即fC)= f),则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理.换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形正因为如此，我们只须对函数f G)作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.3 证明拉格朗日中值定理3.1 教材证法证明作辅助函数F(x)=(丄-虫二心x 显然，函数FG)满足在闭区间L,b上连续，在开区间(a,b)内可导，而且F(a)
4、= F(b)于是由罗尔中值 定理知道，至少存在一点匚(a “ b)，使F匕)=f Q-卑卫=0即 f匕)=理血.bab a3.2 用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数申G)= f(x)- fb-a显然，函数申G)在闭区间，b上连续，在开区间(a,b)内可导，申(a)=(b)= 0，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点:e (a，b),即推广1如图3过原点O作OT AB，由f (x)与直线OT对应的函数之差构成辅助函数申6)，因为f(b)- f(a)直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有：K = K =丿7丿一，OT的直线方程为: ot ab b - a f()- f (a)( )( ) f
5、()- f (a)y =x，于是引入的辅助函数为：9匕丿=f匕丿-x (证明略)-a)，由b - ab - a推广2如图4过点(a,O)作直线AB AB，直线AB的方程为：y =_f(x)与直线函AB数之差构成辅助函数G),于是有: (证明略)，由 f (x )推广3如图5过点作(b,O)直线AB AB，直AB线的方程为y = f- fQ(x-b)b-a与忡直线AB函数之差构成辅助函数申C)，于是有:b - af(b)_ f Q事实上，可过y轴上任已知点 G,m)作A/B/ AB得直线为y = ff一x + m，从而利用b_af 6)与直线的AB函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数申G)都可
6、以用来证明拉格朗日中值定理.因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3 用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于 x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来 证明拉格朗日中值定理从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数f )减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数f )，即可得与之对称的辅助函数如下:乙f Q+ f )_ f )(x _ a )_ f (x) _b 一 aI )= f 第 - f ()x 一 f (x )人)=f(b)_ /(a)(x 一 a)_ f (x)人)=f 力一 f (a)(x _ 7)_ f (x) b_a等等.这类能
7、用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个 . 这里仅以为例给出拉格朗日中值定理 的证明.证明 显然，函数申G)满足条件：G在闭区间L，b上连续；(2)在开区间(a, b)内可导;至少存在一点(a，b)，使得，显然可用其它辅助函数作类似的证明.(3)申C)=(b)=妙午-匕心 由罗尔中值定理知， b_a申q=f(bbf) _ f匕)=o，从而有 f e)=f(bbf)b _ab _a3.4 转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy逆时针旋转适当的角度Q ,得新直角坐标系XOY，若OX平行于弦AB，则在新的坐标系下f (x)满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明
8、.证明 作转轴变换x = X cosa Y sin a，y = X sin a + Y cos a，为求出a，解出X, Y得= x cosa + y sinax cos a +f (x)sin a = X(x)Y = _xsina + y cosa =_xsina+ f (x )cosa =Y(x)由 Y(a)= Y(b)得 一 a sin a + f (a)cosa = _b sin a + f (b)cosa ,f(b)_ f(a)从而 tan a=，取a满足b_a上式即可由 f G)在闭区间la,b上连续，在开区间(a,b)内可导，知Y(x)在闭区间la,b上连续，在开区间(a, b)内
9、可导，且Y (a )= Y (b)，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点C e (a, b)，使得 Y 匕)=一 sin a + f )cos a = 0，即 f匕)=tan a = fba3.5 用迭加法引入辅助函数法让f (x)迭加一个含待顶系数的一次函数y = kx + m，例如令申G)= f (x)(kx + m)或(x)=f (x)+ kx + m，通过使申C)=(b)，确定出k,m，即可得到所需的辅助函数.例如由申 G)=f (x) (kx + m)，令申0=申)得 f Ca ) (ka + m )= f (b ) (kb + m),实数，这样我们就得到了辅()f (b) f (a
10、)一 a助函数9(x)=x m，由m的任意性易知迭加法可构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于ba证明拉格朗日中值定理.3.6 用行列式引入辅助函数法xf (x)1xf (x)1af (a )1的值在x = a,x = b时恰恰均为0,因此可设易证9 (x)= af (a )1，展开bf (b )1bf (b )1质想到行列式证明 构造一个含f (x)且满足罗尔中值定理的函数)，关键是满足申C)=申)我们从行列式的性申(x)= f (b)x + bf (a)+ af (x)-af (b)- f (a)x 一 bf (x).因为f (x)在闭区间la,b上连续，在开区间(a,b)内可导，所以9(
11、x)在闭区间la,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且p(a) = p(b)= 0，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点:e(a,b)，使得卩 )= 0.因为卩匕)=f (a ) f (b) (a b )f匕)=0即：G )= f () f () ba3.7 数形相结合法1 a f (a)1 b f (b )1 a c f (c)引理在平面直角坐标系中，已知AABC三个顶点的坐标分别为A (a f( k) , B (b, f (b),C (c,f (c),则 AABC 面积为 S=AABC 2这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定理作出一种新的证明 . 这种方法
12、是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使之满足罗尔中值定理的条件如图，设C,f (c)是直线AB与y = f (x)从A点开始的第一个交点，则构造9 (x)=4f (a ) f (c ), f (x )G)满足罗尔中值定理的条件：在闭区间a,c上连续，在开区间(a,c)内可导，而且)=9(b )， 则至少存在一点:w(a,b)，使9/(匚)=0，即:但是f (a ) f (c)丰 0，这是因为，如果f (a )f(c)= 0, f (c)则竺也=亠3，这样使得匕f (J)成为直线c-aAB与y = f (x)从A点的第一个交点，与已知矛盾).f (a )f (c)=0，即f()= 金-fC)
13、= fC)- f).若只从满足罗尔中值定理的要求出发，我b-a们可以摈弃许多限制条件，完全可以构造我们做进一步的推广：可构造9 (x)=1 af (a )(x )= 1 bf (b)来解决问题，从而使形式更简洁，而且启发1 xf (x)(a ) f (a )(b ) f (b )来证明柯西中值定理.(x) f (x)c - a91g1g3.8 区间套定理证法证明将区间I = a,b二等分,设分点为:，作直线x 乂 ，它与曲线y = f (x)相交于 M1 ，过M作直线M L 弦M M 此时,11 1a b有如下两种可能: 若直线M1L1与曲线y = f (x)仅有一个交点M1，贝恤线必在直线M
14、 的一侧否则，直线M不平行于直线M M .由于曲线y = f (x)在点M处有切线，根据曲线a b1上一点切线的定义，直线M1L1就是曲线y = f (x)在点M1处的切线，从匚在区间(a，b)内部，取q二匚b-a由知， I构成区间套，根据区间套定理，存在唯一的一点匚1 (n = 1,2,3)，此点:nf Q存在lim啤二如=此)， nT8b 一 ann事 实 上 1 ia m l ib m匚 nn nsns即为所求.由.由作法知,a于是有 若直线m 1 l与曲线y = f(x)还有除m 1外的其他交点，设 N(t，yi)为另外一个交点，这时选取以t，2为端点的区间，记作f (b )- f (a ) f (b)- f (a )1=，把1作为新的“选用区间”，将1二b - ab - a1111等分，并进行与上面同样的讨论，则要么得到所要求的点匚，要么又得到一个新“选用区间” 1 如此下2去，有且只有如下两种情形中的一种发生:(a)在逐次等分“选用区间”的过程中，遇到某一个分点匚，作直线x =匚它与曲线y = f (x)交于 kkM，过点M作直线M L 弦MM ,它与
