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1、第 4 章 抽样估计与假设检验参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验 统计方法描述统计推断统计抽样调查与假设检验概述 抽样推断是依据随机原则，从总体中抽取一部分单位组成样本进行调查，并依据样本资料计算的特征值，对总体特征之作出具有一定可靠程度的估计，以达到认识总体树立郎特征的目的。 主要内容：1. 统计估计2. 假设检验估计量与估计值(estimator & estimated value)1. 估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比率、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值m 的一个估计量2. 参数用q 表示，估计量用 表示3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体
2、值 如果样本均值 x =80，则80就是m的估计值参数估计的方法点 估 计(point estimate)1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区 间 估 计(interval estimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在7
3、585之间，置信水平是95% 置信区间置信下限置信上限区间估计的图示mx95% 的样本m -1.96sxm +1.96sx99% 的样本m - 2.58sxm +2.58sx90%的样本m -1.65 sxm +1.65sx置 信 水 平 1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平 2. 表示为 (1 - a% ) a 为是总体参数未在区间内的比率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 a 为0.01，0.05，0.10置 信 区 间 (confidence interval)1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称
4、为置信区间2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置 信 区 间 与 置 信 水 平 样本均值的抽样分布(1 - a) % 区间包含了ma % 的区间未包含m1 a a /2a /2影 响 区 间 宽 度 的 因 素 总体数据的离散程度，用 s 来测度 样本容量， 置信水平 (1 - a)，影响 z 的大小无 偏 性(unbiasedne
5、ss) 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 P( )BA无偏有偏 有效性(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效 AB 的抽样分布 的抽样分布P( )一 致性(consistency) 一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P( )一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计 总体比率的区间估计 总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比率方差总体均值的区间估计(大样本). 1 .假定条件 总体服从正态分布,且方差(s) 未知 如果不是正态
6、分布，可由正态分布来近似 (n 30)2. 使用正态分布统计量 z3. 总体均值 m 在1-a 置信水平下的置信区间为总体均值的区间估计(例题分析)【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6
7、102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体均值的区间估计(例题分析)解：已知N(m，102)，n=25, 1-a = 95%，za/2=1.96。根据样本数据计算 总体均值m在1-a置信水平下的置信区间为：该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g总体均值的区间估计(例题分析)【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间 36个投保人年龄的数据 2335392736443642464331334253455447243428393
8、64440394938344850343945484532解：已知n=36, 1-a = 90%，za/2=1.645。根据样本数据计算得：总体均值m在1-a 置信水平下的置信区间为：投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁总体均值的区间估计(小样本).假定条件 总体服从正态分布,且方差(s) 未知 小样本 (n 30)2. 使用 t 分布统计量3.总体均值 m 在1-a置信水平下的置信区间为t 分布t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布 xt 分布与标准正态分布的比较t 分
9、布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t (df = 13)t (df = 5)z总体均值的区间估计(例题分析)【例】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470解：已知N(m，s2)，n=16, 1-a = 95%，ta/2=2.131 根据样本数据计算得： ， 总体均值m在1-a置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时
10、1503.2小时总体比率的区间估计假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似2. 使用正态分布统计量 z：3. 总体比率p在1-a置信水平下的置信区间为：总体比率的区间估计(例题分析)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比率，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比率的置信区间解：已知 n=100，p65% , 1-a = 95%，za/2=1.96该城市下岗职工中女性比率的置信区间为55.65%74.35% 两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值之差比率之差方差比两个总体均值之差的估计(小样本: s12=s 2
11、2 )1.假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知但相等：s1=s2 两个独立的小样本(n130和n230)2. 总体方差的合并估计量3. 估计量x1-x2的抽样标准差两个总体均值之差的估计(小样本: s12=s22 )1. 两个样本均值之差的标准化2.两个总体均值之差m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(例题分析)【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值
12、的置信区间两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5解: 根据样本数据计算得 合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟7.26分钟两个总体均值之差的估计(小样本: s12s 22 )1.假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知且不相等：s1s2 两个独立的小样本(n130和n230)2. 使用统计量两个总体均值之差m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为自由度两个总
13、体均值之差的估计(例题分析)【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间 两个方法组装产品所需的时间 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2解: 根据样本数据计算得自由度为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟9.058分钟两个总体均值之差的估计(匹配大样本)1. 假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) 两个总体各观察值的配对差服从正态分布2. 两个总体均值之差md =m1-m2在1-a 置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(匹配小样本)1. 假定条件 两个匹配的大样本(n1 30和n2 30) 两个总体各观察值的配对差服从正态
