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1、习题课习题课导数的概念及运算法则导数的概念及运算法则第第二二章章内容索引010203自主预习自主预习 新知导学新知导学合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑随堂练习随堂练习课标定位素养阐释1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求一些简单函数的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数的导数.4.加强逻辑推理和数学运算能力的培养.自主预习自主预习 新知导学新知导学一、导数与导函数的概念【问题思考】1.(1)设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值当x1趋于x0,即x趋于0时,如果
2、平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数,通常用符号f(x0)表示,记作(2)一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数f(x)=,那么f(x)是关于x的函数,称f(x)为y=f(x)的导函数,也简称导数,有时也将导数记作y.2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f(x),并利用f(x)求f(0),f(-1)的值.二、导数的几何意义【问题思考】1.函数y=f(x)在x0处的导数f(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线
3、的斜率反映了导数的几何意义.2.曲线y=f(x)=2x+ln x在点(e,f(e)处的切线方程为.三、导数的有关运算【问题思考】1.(1)导数公式表,见表2-5-1.表2-5-1(2)导数的运算法则一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x),则f(x)g(x)=f(x)g(x),f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x),特别地,kf(x)=kf(x),kR.(3)复合函数的导数复合函数y=f(x)对x的导数为yx=f(x)=f(u)(x),其中u=(x).【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)f(x0)与f(x0)
4、表示的意义相同.()(2)求f(x0)时,可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有1个公共点.()(4)与曲线只有1个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)函数f(x)=sin(-x)的导数是f(x)=cos x.()合作探究合作探究 释疑解惑释疑解惑探究一探究一导数的运算数的运算【例1】求下列函数的导数:(1)y=x(ln x+cos x);(4)y=ln(2x-5).1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导.2.复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元.【变式训练1】求下列函数的导数:探究二探究二导数公式、法数公式、
5、法则的灵活的灵活应用用【例2】已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)=3x2+2xf(2),则f(5)=().A.2B.4C.6D.8解析:f(x)=6x+2f(2),f(2)=12+2f(2),解得f(2)=-12.f(x)=6x-24.f(5)=65-24=6.答案:C 例2变为:函数f(x)=ax2+2xf(2),且f(2)=-12,求实数a的值.解:f(x)=2ax+2f(2),f(2)=2a2+2f(2),4a=-f(2)=12,解得a=3.1.求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导数.2.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构
6、特征,紧扣法则,记准公式,避免运算错误.【变式训练2】已知函数f(x)=ln x+a的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则实数a的取值范围为().A.(1,+)B.(0,1)答案:A 探究三探究三导数的几何意数的几何意义【例3】已知f(x)为偶函数,当x0,则-x0).f(x)=-3(x0).f(1)=-2.曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.答案:2x+y+1=0 若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程,则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种情况求解.(1)当点P(x0,y0)是切
7、点时,切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:第一步:设出切点坐标P1(x1,f(x1);第二步:写出曲线在点P1(x1,f(x1)处的切线方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1);第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切线方程.【变式训练3】设函数f(x)=aexln x+.(1)求导函数f(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.(2)由于切点既在曲线y=f(x)
8、上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程得y=2,将x=1代入函数f(x)的解析式得f(1)=b,故b=2.将x=1代入导函数f(x)的解析式中,得f(1)=ae=e,从而a=1.【思想方法思想方法】换元法在求函数导数中的应用【典例】已知f(x)=ecos x+3,求f(x).解:令u=cos x+3,则f(x)=eu.f(x)=(eu)(cos x+3)=eu(-sin x)=-sin xeu=-ecos x+3sin x.在求复合函数的导数时,巧用换元法,将函数求导化为了基本初等函数求导,简化运算的同时使求解过程一目了然.【变式训练】已知f(x)=ln(sin x-5),求
9、f(x).随堂练习随堂练习1.若f(x)=exln 2x,则f(x)=().答案:C 2.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是().(第2题)解析:由y=f(x)的图象知y=f(x)在区间(0,+)上单调递减,说明函数y=f(x)图象的切线的斜率在(0,+)上也单调递减,故可排除A,C.又由题图知y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.答案:DA.10B.-10C.-20D.20 答案:C 4.已知函数f(x)=sin3x+3xf(0),则f(0)=.解析:f(x)=sin2xcos x+3f(0),f(0)=sin20cos 0+3f(0),f(0)=0.答案:05.曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为 ,求直线l的方程.解:f(x)=esin x,f(x)=esin xcos x,f(0)=1.曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.又因为直线l与x-y+1=0平行,所以可设直线l的方程为x-y+m=0(m1).
