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1、1生活中的变量关系生活中的变量关系自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系.4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,加强数学抽象和数学建加强数学抽象和数学建模素养模素养.一、依一、依赖关系关系【问题思考】【问题思考】1.某人坐摩天轮一圈用时某人坐摩天轮一圈用时20m
2、in.若摩天轮匀速转动若摩天轮匀速转动,则他的则他的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗?当他转动一圈当他转动一圈位于摩天轮一半高度时位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分摩天轮转了多少分?提示提示:该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当当他他转动一圈转动一圈位于位于摩天轮一半高度时摩天轮一半高度时,摩天轮转摩天轮转了了5min或或15min.2.在在某变化过程中有两个变量某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了如果其中一个变量的值发生了变化变化,另一个变量的值也会随之发生变化另一个变量的值也会
3、随之发生变化,那么就称这两个变那么就称这两个变量具有量具有依赖依赖关系关系.二、函数关系二、函数关系【问题思考】【问题思考】1.若某人坐摩天轮一圈用若某人坐摩天轮一圈用时时20min,摩天轮匀速转动摩天轮匀速转动,现将摩现将摩天轮的转动时间天轮的转动时间t当作自变量当作自变量,他的海拔高度他的海拔高度h为因变量为因变量,则每则每取一个取一个t值值,有几个有几个h值与之对应值与之对应?提示提示:每取一个每取一个t值值,有唯一一个有唯一一个h值与之对应值与之对应.2.如果如果在一个变化过程中在一个变化过程中,有两个变量有两个变量x和和y,对于变量对于变量x的每一的每一个值个值,变量变量y都有唯一确
4、定的值和它对应都有唯一确定的值和它对应,那么那么y就是就是x的的函数函数,其其中中x是是自变量自变量,y是是因变量因变量.3.下列下列说法不正确的是说法不正确的是()A.依赖关系不一定是函数关系依赖关系不一定是函数关系B.函数关系是依赖关系函数关系是依赖关系C.如果变量如果变量m是变量是变量n的函数的函数,那么变量那么变量n也是变量也是变量m的函数的函数D.如果变量如果变量m是变量是变量n的函数的函数,那么变量那么变量n不一定是变量不一定是变量m的的函函数数解析解析:根据依赖关系与函数关系的区别可知根据依赖关系与函数关系的区别可知A,B正确正确.若变量若变量m是变量是变量n的函数的函数,因为满
5、足函数关系的自变量因为满足函数关系的自变量n对因变量对因变量m可以可以是多对一是多对一,此时若把此时若把m换成自变量换成自变量,n换成因变量换成因变量,显然对于显然对于m的的每一个取值每一个取值,可能可能会有会有多个多个n与之对应与之对应,所以变量所以变量n不是变量不是变量m的函数的函数.故故C错误错误,D正确正确.答案答案:C三三、分段函数分段函数【问题思考】【问题思考】1.某市空调公共汽车的票价按下列某市空调公共汽车的票价按下列规则规则收取收取:5km以内以内(含含5km),票价票价2元元.5km以上以上,每增加每增加5km,票价增加票价增加1元元(不足不足5km的按的按5km计计算算).
6、已知两个相邻的公共汽车站间相距已知两个相邻的公共汽车站间相距1km,沿途沿途(包括起点包括起点站和终点站站和终点站)有有11个个公共公共汽车站汽车站.请根据以上内容请根据以上内容,回答下面的问题回答下面的问题:(1)从起点站出发从起点站出发,公共汽车的行程公共汽车的行程x(km)与票价与票价y(元元)间的函数间的函数关系是什么关系是什么?(2)这种函数关系的特征是什么这种函数关系的特征是什么?提示提示:(1)当当0 x5时时,y=2;当当5x10时时,y=3,(2)在给定范围内在给定范围内,对于自变量对于自变量x的不同取值的不同取值,对应对应关系不同关系不同.2.形形如上述的函数如上述的函数,
7、一般叫作一般叫作分段函数分段函数.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错误错误的画的画“”.(1)圆的周长与其直径的比值是常量圆的周长与其直径的比值是常量.()(2)一般地一般地,一个人的能力与他受教育的程度之间是依赖关系一个人的能力与他受教育的程度之间是依赖关系.()(3)发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系.()探究探究一一 依依赖关系与函数关系关系与函数关系【例【例1】下列各组中两个下列各组中两个变量之间变量之间是否存在依赖关系是否存在依赖关系?其中其中
8、哪些是函数关系哪些是函数关系?(1)球的体积和它的半径球的体积和它的半径;(2)速度不变的情况下速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间汽车行驶的路程与行驶时间;(3)家庭的收入家庭的收入与消费与消费支出支出;(4)正三角形的面积和它的边长正三角形的面积和它的边长.解解:(1)中中,球的体积球的体积V与半径与半径r间存在间存在的关系的关系.(2)中中,在速度不变的情况下在速度不变的情况下,行驶路程行驶路程s与行驶时间与行驶时间t之间存在之间存在正比例关系正比例关系.(3)中中,家庭的收入与消费支出间存在关系家庭的收入与消费支出间存在关系,但具有不确定性但具有不确定性.(4)中中,正三角形的面
9、积正三角形的面积S与其边长与其边长a间存在间存在的关系的关系.综上可知综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系中两个变量间都存在依赖关系,其中其中(1)(2)(4)是函数关系是函数关系.判断两个变量间有无依赖关系判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性否具有确定性,即考察对于一个变量的每一个值即考察对于一个变量的每一个值,另一
10、变量是另一变量是否都有唯一确定的值与之对应否都有唯一确定的值与之对应.【变式训练】【变式训练】谚语谚语“瑞雪兆丰年瑞雪兆丰年”说明说明()A.下雪与来年的丰收具有依赖关系下雪与来年的丰收具有依赖关系B.下雪与来年的丰收具有函数关系下雪与来年的丰收具有函数关系C.下雪是丰收的函数下雪是丰收的函数D.丰收是下雪的函数丰收是下雪的函数解析解析:积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,大雪可以防止大雪可以防止土壤中的热量向外散发土壤中的热量向外散发,又可阻止外界冷空气的侵入又可阻止外界冷空气的侵入,具有增具有增墒肥田的作用墒肥田的作用.所以下雪与来年的丰收具有依赖关系所以
11、下雪与来年的丰收具有依赖关系,但不是但不是函数关系函数关系.答案答案:A探究探究二二 用用图象表示象表示变量量间的关系的关系【例【例2】某市一天某市一天24h内的气温变化内的气温变化,如图所示如图所示.上午上午8时的气温是多少时的气温是多少?全天的最高气温、最低气温全天的最高气温、最低气温分别分别大约大约是是多少多少?解解:上午上午8时的气温是时的气温是0,全天最高气温大约是全天最高气温大约是9,在在14时达时达到到,全天最低气温大约是全天最低气温大约是-2,在在4时达到时达到.1.本例中条件不变本例中条件不变,请问大约在什么时刻请问大约在什么时刻,气温为气温为0?解解:大约在大约在8时和时和
12、22时时,气温为气温为0.2.本例中条件不变本例中条件不变,大约在什么时间内大约在什么时间内,气温在气温在0以上以上?两个两个变量有什么特点变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系它们具有怎样的对应关系?解解:大约在大约在8时到时到22时之间时之间,气温在气温在0以上以上,变量变量0t24,变量变量-29,由于图象是连续的由于图象是连续的,可知它们之间具有随着时间的增加可知它们之间具有随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势气温先降再升再降的变化趋势,所以所以与与t具有依赖关系具有依赖关系,也具也具有函数关系有函数关系.对于这类问题对于这类问题,求解的关键是充分利用图象求解的关键是充分利用图象
13、.探究探究三三 用用表格表示表格表示变量量间的关系的关系【例【例3】声音在空气中传播的速度简称声速声音在空气中传播的速度简称声速,实验测得声速与实验测得声速与气温的一些数据如气温的一些数据如表表.(1)根据表内数据作图根据表内数据作图,由图可看出由图可看出变量变量声声速速是随什么变化是随什么变化?(2)求求x与与y间的关系式间的关系式;(3)气温为气温为22时时,某人看到烟花燃放某人看到烟花燃放5s后才听到声响后才听到声响,那么此那么此人与燃放烟花所在地相距约多少米人与燃放烟花所在地相距约多少米?解解:(1)根据题根据题中数据中数据,可作出如下图可作出如下图.由图可看出由图可看出变量变量声声速
14、速随气温的变化而变化随气温的变化而变化.对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题,求解求解时时根据根据表中两个变量对应数据表中两个变量对应数据,分析其变化情况分析其变化情况,即可做出判断即可做出判断.【典例】【典例】一高为一高为H、满缸水量为、满缸水量为V0的的鱼缸鱼缸轴轴截面截面如图如图2-1-2,其底部破了一个小洞其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出满缸水从洞中流出.若鱼缸中水深为若鱼缸中水深为h时时,水的体积为水的体积为V,则则V与与h间的关系的大致图象可能是图中的间的关系的大致图象可能是图中的().错解错解因为水在不停地流出因为水在不停地
15、流出,所以水的体积所以水的体积V在不断减少在不断减少,由由鱼缸的形状可知鱼缸的形状可知,水的体积水的体积V先减少得快先减少得快,后减少得慢后减少得慢,故选故选C.答案答案C以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:错解审题不细致错解审题不细致,没弄清题意没弄清题意,不不理解理解V与与h的关系而致误的关系而致误.正解正解:由鱼缸的形状可知由鱼缸的形状可知,水的水的体积体积V随着随着h的减小的减小,先减少得慢先减少得慢,后减少得快后减少得快,又减少得慢又减少得慢,故选故选B.答案答案:B这类问题审题
16、要仔细这类问题审题要仔细,分清变量间的分清变量间的关系关系.【变式训练】【变式训练】一人骑一人骑着着自行车自行车一路一路匀速行驶匀速行驶,只是在途中遇只是在途中遇到一次交通堵塞到一次交通堵塞,耽搁了一些时间耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图中与这件事正好吻合的图象是图象是(其中其中x轴表示时间轴表示时间,y轴表示路程轴表示路程)()解析解析:开始一段时间路程逐渐增大开始一段时间路程逐渐增大,增大增大时时的的速度相同速度相同,图象是图象是一直线段一直线段,耽搁的时间段路程不变耽搁的时间段路程不变,图象与图象与x轴平行轴平行,然后行驶然后行驶路程在原来的基础上又增大路程在原来的基础上又增大,由题中图象知选由题中图象知选A.答案答案:A1.下列两个变量之间的关系下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是不是函数关系的是()A.多边形的边数和它的内角多边形的边数和它的内角和和 B.正方形的边长和面积正方形的边长和面积C.圆的面积和圆的面积和半径半径D.人的体重和身高人的体重和身高答案答案:D2.下图是某市某一天的温度随时间变化情况的图象下图是某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可由
