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1、4.2 闭区间上连续函数的性质一、 性质的证明定理1.（有界性）若函数在闭区间a,b连续，则函数在闭区间a,b有界，即0,a,b,有|.证法：由已知条件得到函数在a,b的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间a,b有界，可应用有限覆盖定理，从而得到0.证明：已知函数在a,b连续，根据连续定义，a,b，取=1，0,()a,b,有|1.从而()a,b有|+1即a,b，函数在开区间()有界。显然开区间集 ()|a,b 覆盖闭区间a,b.根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n个开区间（）|a,b ，k=1,2,3,n也覆盖闭区间a,b ，且（）|a,b，有|
2、+1，k=1,2,3,n取=max+1. 于是a,b，1，2,，n,且（）a,b，有|+1定理2（最值性）：若函数在闭区间连续，则函数在区间能取到最小值m与最大值M，即：使：与证明：根据定理3，数集有界。设：sup用反证法：假使有M,显然， ()，且在连续，于是函数在连续，根据定理3，函数在有界，即：，或，由上确界的定义知：M不是数集的上确界，矛盾，于是，使。定理3.(零点定理) 若函数在闭区间连续，且0(即与异号)，则在开区间（a,b）内至少存在一点,使=0证明：不妨设0.用反证法，假设a,b，有0，将闭区间二等分，分点为.已知0，如果0,则函数在闭区间的两个端点的函数值的符号相反；如果0,
3、则函数在闭区间,b 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间与,b必有一个使函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为，有0，再将二等分，必有一个闭区间，函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为，有0，用二分法无限进行下去，得到闭区间（），且1）a,b ;2)= =0对每个闭区间，有0.一方面，已知函数在连续，根据连续函数的保号性，0,:|0;另一方面，由（1）式，当n充分大时，有，已知0，即函数在中某点的函数值小于0，矛盾.于是，0.同法可证0.所以闭区间内至少存在一点,使=0.二、 一致连续性已知：在连续，即：，,(限定，取于是：，,。： 由此看出，对同一，的不同的点
4、，使上式成立的的大小不同，换句话说，的大小不仅与给定的有关，同时也与点在中的位置有关。区间有无限多个，相应地存在无限多个，那么这无限多个中是否存在一个公用的，（即最小的），使，： 呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在公用的，有的不存在公用的。（存在的，就是一致连续）定义：设函数定义在区间上，若,，：，则称函数在区间上一致连续（均匀连续）比较与连续概念的异同。在连续，,。：。（一致连续的，是任意的，与无关；连续中的是固定的，与有关一致连续是整体性质，是关于区间来谈的。连续是局部性质，是针对区间中的一点来谈的。）从定义可知： “一致连续连续”，但不能说“连续一致连续”。非一致连续（在）定义：
5、，：例1、2 定理4（一致连续性）：若在连续，则在一致连续。证法：应用反证法与致密性定理证明：假设函数在a,b非一致连续，即，a,b：|,有|.取=1，a,b：|1，有|.取=，a,b：|，有|.取=，a,b：|，有|.这样的闭区间a,b构造两个有界数列与根据致密定理（4.1定理5）数列存在收敛的子数列，设=a,b因为|,所以，也有=. 一方面，已知函数在连续，有|=|=0即当充分大时，有|另一方面，,有|矛盾，即函数在闭区间a,b一致连续.定理指出：函数在闭区间上连续与一致连续等价。证明：函数在内连续，函数在内一致连续的必要充分条件是与都存在。3（3）.证明：函数在一致连续证明：将分为 ， ， 取于是， ，：即：在一致连续。又在连续， 在连续，因此在一致连续。即：，取，那么，且时，有，或，于是， ，即：在一致连续。8.证明：若函数在连续，且，则函数在一致连续。证明：已知 即：，。， 又在连续，在连续。因此在一致连续即：， ，取于是：，即在一致连续。例：用一致连续定义证明：若函数在与都一致连续，则函数在一致连续。证明：已知在一致连续，在一致连续即：，： ，：取 ，当，或时，已有，若，则即：， ，：在上一致收敛。10.证：在上连续，在上一致连续。，： 。取定自然数，使，即现将等分成个小区间：，故对， ，有 ，从而有证毕。99
