锐角三角比讲义

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1、知识点总结与归纳】ZA的余弦=今的邻边，即cosA，斜边cZA的正切=的对边，即tanA=aZA的邻边bZA的余切=ZA的邻边，即佔A=aZA的对边b注：三角函数值是一个比值 定义的前提是有一个角为直角，故如果题目中无直角条件时，应设法构造一个直角若ZA为一锐角，则sinA,cosA,tanA,cotA的取值范分别是：0 0,cotA0。同一个锐角的正切和余切值互为倒数，即：tanA cotA=1或tanA- cot A2、特殊锐角的三角比的值（1）特殊锐角（30，45，60）的三角比的值角函数角度正弦余弦正切余切0010不存在30fl7373好41160V390s0不存在02) 同角，互余的

2、两角多的三角比之间的关系：倒数关系：tanA=cot A平方关系：sin2A+cos2A=l积商关系：sin AtanA= ,cot A =cos Acos A sin A余角和余函数的关系：如果ZA + ZB = 90o，那么sinA=cosB, tanA=cotB (正弦和余弦，正切和余切被称为余函数关系)。注意：求锐角三角比的值问题(1) 在直角三角形中，给定两边求锐角的三角比，关键是搞清某锐角的“对边“”邻 边”，掌握三角比的定义。(2) 给出锐角的度数，求这个锐角的三角比 特殊锐角，一般情况下，使用精确值；在实际应用中，根据问题要求处理。 求非特殊锐角的三角比的值，使用计算器或查表求

3、值。(3) 当锐角不是直角三角形的内角，首先观察有否相等的锐角可代换，而且可代换 的锐角含在某直角三角形中，如果没有可代换的相等的锐角，可作适当的垂线 构建含有这个锐角的直角三角形。3、解直角三角形在直角三角形中，除直角外，还有5 个元素，即三条边和两个锐角，由直角三 角形中除直角外的已知两个元素(其中至少含有一条边)，求出其他所有未知元 素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形常用到的关系：1)2)锐角关系：ZA + ZB = 9Oo,三边关系：勾股定理：a2 + b 2 = c23)边角关系： a a人 b4 a人 bsmA=,cos A = ,tan A = ,cot A =ccba ,

4、b厂a厂b厂asmB= - ,cos B =, tan B = ,cot B =、ccab直角三角形的面积：S = ch = ab = absinC A 222当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高角形，再求解。解直角三角形的类型有：已知两条边；已知一条边和一个锐角。化斜三角形为直角三5） 解法分类：已知斜边和一个锐角解直角三角形； 已知一条直角边和一个锐角解直角三角形 已知两边解直角三角形注意：解直角三角形的方法：可概括为“有弦（斜边）则弦（正弦，余弦），无弦用切，宁 乘勿除，取原避中”。这几句话的含义是：当已知条件中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜 边时，则用正切或余切；当所求元素

5、既可用乘法又可用除法时，则尽量用乘法，避免用除法； 既可以用已知的原始数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，避免用中间数据后引起连 锁错误或较大误差。4、 解直角三角形的应用（1） 仰角和俯角 视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水 平线下方的叫做俯角。（2）坡角和坡度 坡面与水平面的夹角叫做坡角。坡面的铅直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用i标志，即i=h:l,通常坡度要写成l:m的形 式，坡角的正切是坡面的坡度。（3）方向角 一般以观测者的位置为中心将正北或正南方向为始边旋转到目标的方 向线所成的锐角。例1已知RtAABC中，ZC = 90, AC

6、 = 2, BC = 3,那么下列各式中，正确的是2222A、sin B =B、cos B =c、tan B =D、cot B =3333例2某山路坡面坡度i = 1： 399,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了米3例 3 如图 8-1,在厶ABC 中，ZC=90,点 D 在 BC 上，BD=4, AD=BC, cosZADC= 求：（1） DC的长；（2） sinB的值.例4如图所示，秋千链子的长度为3m,静止时的秋千 踏板（大小忽略不计）距地面0.5m.秋千向两边摆动时， 若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为53。, 则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考

7、数据： sin53 0. & cos53。心0.6）图 8-3-1课后作业一、填空题1.如图，如果AAPB绕点B按逆时针方向旋转30后得到AA P B,且BP=2,那么PP 的长为.（不取近似值.以下数据供解题使用：sin15=迈二2 , cos15= +2 ） 442.用计算器计算:诉加4胪=.（精确到0.01）3如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东 48甲R 第1题图第 3 题图第 4 题图乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西度.第 5 题图A第 6题图C4如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4/2单位，到达B点后观察到

8、原点O在它 的南偏东60的方向上，则原来A的坐标为 （结果保留根号）.5. 求值：sin260 +cos260 = .6. 在直角三角形 ABC 中，ZA= 900, BC=13, AB=12，那么 tanB 二.7. 根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为m （结果精确的到0.01m）.（可 用计算器求，也可用下列参考数据求：sin430.6802，sin400.6428，cos43 0.7341，cos400.7660, tan430.9325, tan400.8391）8如图，自动扶梯AB段的长度为20米，倾斜角A为a,高度BC为米（结果用含a的三角比表示）.二、选择题9.在厶ABC

9、 中，ZC = 90o, AC=BC=1,则 tanA 的值是（）D.C12 AC10.在RtAABC中，CD是斜边AB上的高线，已知ZACD的正弦值是厅，则 的值是3 AB（）A.B.C.D.11.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米, 梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动 到A，使梯子的底端A到墙根O的距离等于3米，同时梯子的 顶端B下降到B，那么BB（）A.等于1米B.大于1米C.小于1米D.不能确定fB第131 题图12.如图，延长RtABC斜边AB到D点，使BD=AB，连结CD，若 cotZBCD = 3,则 tanA=()A.B. 1C.D.

10、 3三、解答题13.已知等腰梯形 ABCD 中，AD+BC=18cm, sinZABC= | v3 ,第12题图AC与BD相交于点O,ZBOC=1200,试求AB的长.第13题图15.如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40夹角，且DB=5m,则BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：sin 40。= 0.642&cos 40。= 0.7660,tg 40。= 0.8391,ctg 40。= 1.1918 】近年上海中考数学关于锐角三角比题型年份考占n八、分值2008 年锐角三角比的概念、坡度1

11、4 (8)2009 年锐角三角比的概念10 (5)2010 年锐角三角比的概念、解直角三角形24 (16)2008（4 分）318.在AABC中，AB二AC二5，cosB = （如图6）.如果圆O的半径为J10，且经过点B，C，那么线段AO的长等于2008(10 分) 21（本题满分 10 分，第（1）小题满分 3 分，第（2）小题满分 7 分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不 清楚（如图7所示）.已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点.（1）请你帮助小王在图8 中把图

12、形补画完整；（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中i = 1:0.75是坡面 CE的坡度），求r的值.2009（10 分）21（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分）如图 4,在梯形 ABCD 中，AD BC, AB = DC = 8 ZB = 60 , BC = 12，联结 AC.（1）求 tan ZACB 的值；（2）若M、N分别是AB、DC的中点，联结MN，求线段MN的长.2010（10 分）21.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图5所示，“海宝”从圆心O出发, 先沿北偏西67.4方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿

13、正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长.12512（本题参考数据:sin 67.4 =乜，cos 67.4 =右，tan 67.4 = g）8 / 142010(14 分)25.如图9,在RtAABC中，ZACB = 90 .半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边 AC相交于点E,连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.(1) 当ZB = 30。时，连结人卩，若厶AEP与厶BDP相似，求CE的长；(2) 若 CE=2，BD=BC，求ZBPD 的正切值；(3) 若tanZBPD = 3，设CE=x,AABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.AAE图

14、10(备用)图11(BRBC图99. 课后考点巩固考点一、锐角三角比的概念：AC1在RtABC中,ZC=90,那么 等于BC).(A)tanA；(B)cotA ；(C)sinA ；(D)cosA .2. RtABC 中，ZC=90。，若 AC=a,ZA = 9，则 AB 的长为()aa(A)a - sin9 ；(B) a - cos9 ；(C) sin9 ；(D)cos93.如图，在ABC 中，AB=2,AC=3,BC=4,则 tan C 的值是1 32(A)； (B ； (C ；(D)以上都不是.2 43考点二、特殊锐角的三角比值：C1.计算:1cot30。(-)-2 + sin60-(cos45)2 -9(兀tan60。)。3v2 - sin 45