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1、北师大版2019-2020学年数学精品资料数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为and 或前n项和首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列.例1.设等差数列的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）.（A）130 （B）170 （C）210 （D）260
2、解 若等差数列前m项、次m项、又次m项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，所以S1，S2，S3成等差数列.因为30，70，S3m100成等差数列，所以30+S3m100=140，即S3m=210.故应选（C）.例2.设an是等差数列，已知，求等差数列的通项公式. 解 an成等差数列，bn成等比数列,=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.从而有b1+b3= ,b1b3=.b1,b3是方程x2+两根.解得或，a1=1,d=2或a1=3,d=2.故an=a1+(n1)d=2n3或an=52n.例3.一个数列an,当n为奇数时, an=5n+1;当n为偶数时,an=2,
3、求这个数列的前2m项的和.解:a1,a3,a5,，a2m1成等差数列，成等比数列，S2m=.例4.设数列前n项和Sn与an的关系是（其中k是与n无关的常数，且k1）.（1）试写出由n,k表示的an的表达式；（2）若，求k的取值范围.解：（1）当n=1时，由,得当n2时，由，得.若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n2).若k0,则an是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），1，解得k.例5.已知数列an的前n项和的公式是.（1）求证：an是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记，求证：对任意自然数n，都有.证明：（1）当n=1时，；当n2时， =. an是首项为，公差为的等差数列.（
4、2）只要证明bn是首项为,公比为1的等比数列.，和bn是首项为，公比为1的等比数列，.例6.设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.（1）写出数列an的前3项；（2）求数列an的通项公式（写出推证过程）；（3）令，求解 （1），得0；，解得：0)；，解得：0).（2）当n2时，即，即.0,.an是首项为2，公差为4的等差数列，.（3），.例7.已知数列an满足条件：0），且anan1是公比为q(q0)的等比数列.设.（1）求出使不等式成立的q的取值范围；（2）求bn和，其中；（3）设，求数列的最大项和最小项的值.解： （1）0，
5、q0,0,0q .（2）.又是首项为1+r，公比为q的等比数列，.（3）.记，则有c21.故cn的最大项为c21=2.25，最小项为c20=4.例8.设An为数列an前n项的和，数列bn的通项公式为（1）求数列an的通项公式；（2）若，则称d为数列an与bn的公共项.将数列an与bn的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列dn，证明数列dn的通项是（3）设数列dn中的第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn前r项的和，Dn为数列dn前n项的和，Tn=BrDn，求解: （1）当n=1时，由,得a1=3;当n2时，由,得2)an是首项为3，公比为3的等比数列，故（2）证dn是等比数列.显然d1=a3=27,设ai=3k是数列bn中的第m项，则.;不是数列bn中的项.而是数列bn中的第m+1项.,dn是首项为27，公比为9的等比数列.（3）由题意，又.故.
