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1、第29讲 综合推理教学目标l 学会对一个问题进行分析、推理；l 利用我们的推理来解决一些较简单的问题；l 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。知识梳理 解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。 解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善
2、于运用排除法、反证法逐一试验。 当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。典例分析 例1、甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙，按照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮的三场比赛他们都没有成为对手请问：第一轮比赛的分别是谁对谁？【解析】根据上述分析可知：张能胜钱，说明第一轮只会碰赵或者孙；钱能胜李，说明第一轮只会碰张，或者是王；李能胜孙，说明第一轮只会碰赵或者钱综上所述：第一轮比赛是张与孙，王与钱，李与赵答：第一轮比赛是张与孙，王与钱，李与赵例2、甲、乙、丙三名选手参加马拉松比赛，起跑后甲处在
3、第一的位置，在整个比赛过程中，甲的位置共发生了7次变化比赛结束时甲是第几名？（注：整个比赛过程中没有出现三人跑在同一位置的情形）【解析】据题意可知，当甲与共交换了奇数次位置时，甲一定是第二名；偶数次时，甲一定不在第二名所以甲共交换了7次位置时，7是奇数，则甲一定是在第二名 答：比赛的结果甲是第二名例3、6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，请问：（1）各队总分之和最多是多少分？最少是多少分？（2）如果在比赛中出现了6场平局，那么各队总分之和是多少？【解析】（1）每支球队赛5场，全胜得分最多：53=15（分）最少得分就是全输得0分：答：各队
4、总分之和最多是15分，最少是0分（2）652=15（场）62+（156）3=12+27=39（分）答：那么各队总分之和是39分 例4、编号为1、2、3、4、5、6的同学进行围棋比赛，每2个人都要赛1盘现在编号为1、2、3、4、5的同学已经赛过的盘数和他们的编号数相等请问：编号为6的同学赛了几盘？【解析】因为是每2个人都要赛1盘，所以可以这样推理：5号赛了5场，说明他与1，2，3，4，6，各赛了1场；1号赛1场，那么1号只跟5号赛了1场；4号赛了4场，除了跟5号赛1场，另外3场是跟2，3，6号；那么2号此时分别和5号、4号已赛了2场；3号赛了3场，除了和4号，5号之外，又和6号赛了1场将上述推理
5、过程用图表示为：答：此时6号已经赛了3场例5、甲、乙、丙、丁、戊五个同学的各科考试成绩如表，已知：每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5；五个人的总分互不相同，且从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊；丙有四门功课的分数相同请你把表格补充完整语文数学英语音乐美术总分田24乙丙丁4戊35【解析】因为甲得24分，而戊得英语得5分，所以甲的英语只能得4分，根据题意可得甲的其它科目都得5分；而戊是最后一名，且语文3分，英语5分，所以其它科目就是1，2，4分，因为是最后一名，甲得分数是5或者是4，所以戊的分数不会出现4分和2分，只能是1分，据此戊得11分；语文数学英语音乐美术总分田55455
6、24乙丙丁4戊3151111而丙有四门功课的分数相同，且每门功课五个人的分数恰巧分别为l、2、3、4、5，丙得分最少是13分，所以丙的成绩如下：语文数学英语音乐美术总分田5545524乙丙1333313丁4戊3151111所以乙的数学是2分，英语是1或者2分，音乐是2或者4分，美术是2或者4分，语文是2或者4分，且乙的总分小于19分大于13分，据此乙的成绩分别是4，2，1，4，4；进而推出丁的成绩即可根据上述分析及其题意得出他们的成绩如下：数学英语音乐美术总分田545524乙214415丙333313丁422212戊151111例6、九个外表完全相同的小球，重量分别是1，2，9为了加以区分，它
7、们都被贴上了数字标签，可是有一天，不知被哪个调皮鬼重新乱贴了一通我们用天平做了两次称量，得到如下结果：（1）； （2）=，请问：号小球的重量是多少？【解析】根据分析及其题意可得：必须有一个是8，一个是9的；所以是5，6，7都可以（1）当=5时，=1，=4则1+2+3+5+6=17不符合题意；=2，=3时，则：1+2+4+5+6=18，显然不合适；（2）当=6时，=2，=4则：1+2+3+5+6=17不合适；=1，=5则1+2+3+4+6=16故此是8和9中的一个，是1，是5，是6，就是2，3，4中的一个，所以是7；（3）当=7时，+17不符合题意答：号小球的重量是7例7、在一次射击练习中，甲、
8、乙、丙三位战士打了四发子弹，全部中靶，其中命中情况如下：（1）每人四发子弹命中的环数各不相同；（2）每人四发子弹命中的总环数均为17环；（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两发一样；（4）甲与丙只有一发环数相同；（5）每人每发子弹的最好成绩不超过7环问：甲与丙命中的相同环数是几？【解析】根据（1）、（2）、（5）三个条件，可以列举出四个加数互不相同，且最大加数不超过7，总和为17的所有情况：1+3+6+7=17；1+4+5+7=17；2+3+5+7=17；2+4+5+6=17；因为（3）乙有两发命中的环数分别与甲其中两发一样，乙另外两发命中的环数与丙其中两
9、发一样；只有算式中的加数2、3、5、7中的不同的两对分别出现在两个算式中；算式的加数也符合（4）甲与丙只有一发环数相同；所以：甲：1，3，6，7乙：2，3，5，7丙：2，4，5，6所以：甲与丙的相同环数为6例8、9个小朋友从前到后站成一列现在将红黄蓝三种颜色的帽子各三顶分别戴在这些小朋友的头上每个小朋友都只能看到站在他前面的小朋友帽子的颜色后来统计了一下，发现他们看到的红颜色帽子的总次数等于他们看到的黄颜色帽子的总次数，也等于他们看到的蓝颜色帽子的总次数已知从前往后数第三个小朋友戴着红帽子，第六个小朋友戴着黄帽子，请问：最后一个小朋友戴着什么颜色的帽子？【解析】（1+2+3+4+8）3 =36
10、3 =12（次）第三个人是红帽子，已经被6个人看到，所以剩下两顶帽子要么是在第4和第8，要么是第5和第7，这样两顶帽子被看到的次数是6，6+6=12，刚好；最后一个小朋友不可能是戴红帽子，他也不可能带黄帽子：因为第6个是黄帽子，被3个人看到，如果最后一个是黄帽子，那么就没人看到了，剩下的一顶黄帽子即使被第一个小朋友戴，也才被8个人看到，3+0+8=11所以最后一个小朋友戴的是蓝帽子；例9、现有A、B、C共3支足球队举行单循环比赛，即每两队之间都要比赛一场比赛积分的规定是胜一场积2分，平一场积1分，负一场积0分，表1是一张记有比赛详细情况表格，但是，经过核对，发现表中恰好有4个数字是错误的，请你
11、把正确的结果填入表2中表1 场数 胜负 平 进球失球 积分 A 220102 3 B 21 1 0 3 62 C 12 1 2 01 1表2 场数 胜 负 平 进球失球 积分 A BC 【解析】根据题意及其条件可得：场数 胜 负 平 进球失球 积分 A 2 10 162 3B21 1 03 6 2C 2 0 1 10 11 实战演练 课堂狙击1.甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？【解析】用五个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连接
12、起来，因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其他4个点都有线段相连（见左下图），因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连，因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图），因为丙赛了2盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过，由上页右图清楚地看出，小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛，答：小强赛过2盘，分别与甲、乙比赛2.有10名选手参加乒乓球单打比赛，每名选手都要和其它选手各赛一场，而且每场比赛都分出胜负，请问：（1）总共有多少场比赛？（2）这10名选手胜的场数能否全都相同？（3）这10名选手胜的场数能否两两不同？【解析】（1）10（101）=45（场），
13、答：一共要进行45场比赛（2）4510=4（个）5（场） （不相同，有余数）答：这10名选手胜的场数不相同（3）45可以分成1，2，3，4，5，6，7，8，9，0的数列 （有五列，是整数，可以）答：这10名选手胜的场数可以两两不同3. 5支球队进行单循环赛，每两队之间比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，打平则双方各得1分，最后5支球队的积分各不相同，第三名得了7分，并且和第一名打平请问：这5支球队的得分，从高到低依次是多少？【解析】由题意可知，每支球队进行了4场比赛，第三名得了7分，并且和第一名打平，那么另三场只能是两胜一负；因各队得分都不相同，第一名平一场，另三场只能胜，积33+1=1
14、0分，也就是胜2、4、5名；第二名只能是三胜一负，积33+0=9分也就是胜3、4、5；第三名胜4、5，负2，平1；第四名为负1、2、3，第五名也负1、2、3名；又因各队比分不同则4胜5积3分，则第五名全负，积0分；即：第一名：10分，第二名：9分，第三名：7分，第四名：3分，第五名：0分答：第一名：10分，第二名：9分，第三名：7分，第四名：3分，第五名：0分4. 红、黄、蓝三支乒乓球队进行比赛，每队派出3名队员参赛比赛规则如下：参赛的9名队员进行单循环赛决出名次，按照获胜场数进行排名，并按照排名获得一定的分数，第一名得9分，第二名得8分，第九名得1分；除产生个人名次外，每个队伍还会计算各自队员的得分总和，按团体总分的高低评出团体名次最后
