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1、郑州轻工业学院本科毕业设计（论文） 题 目 动力系统的分形图形分析和绘制 学生姓名 黄永煌 专业班级 数学与应用数学 学 号 541110020109 院 （系） 数学与信息科学系 指导老师（职称） 何红亚 完成时间 2015年5月20日 34动力系统的分形图形分析和绘制目 录 中文摘要英文摘要第一章 绪论31.1 分形理论的起源和发展31.2 分形维数的定义31.3 分形理论对科学理论方法产生的影响41.4 分形理论的研究现状41.5 本文主要讨论的问题5第二章 复动力系统62.1 复分形理论6 2.1.1 复解析函数6 2.1.2 复二次多项式迭代72.2 Julia集8 2.2.1 Ju
2、lia集的一些基本性质8 2.2.2 Julia集分形图的分析绘制82.3 Mandelbrot集11 2.3.1 Mandelbrot的性质12 2.3.2 Mandelbrot集的图形绘制与分析122.4 Julia集和Mandelbrot之间的关系162.5 高阶Julia集的反函数迭代法17 2.5.1 函数定义18 2.5.2 反函数迭代法的算法18 2.5.3 逃逸时间算法与反函数迭代算法202.6 本章小结20第三章 双二次多项式系统223.1 双二次多项式Julia集连通性213.2 双二次动力系统的分形图绘制和分析21 3.2.1 动力系统的性质21 3.2.2 双二次动力系
3、统算法分析22第四章 广义Julia即和Mandelbrot集224.1算法构造和图形绘制224.2 Mandelbrot集算法与图形绘制244.3 其它的广义Julia集和Mandelbrot集26第五章 牛顿迭代法生成分形图形225.1 牛顿迭代法的基本原理295.2 牛顿迭代法的算法30结束语31致谢32参考文献33动力系统的分形图形分析和绘制摘 要分形是数学发展分支上的一门新的学科，虽然才发展二十年，但是却取得了许多卓有成效的成果。分形主要是为了研究不规则，复杂几何图形而发展起来的一门学科。利用分形理论，再借助MATLAB，VB等数学软件，可以画出许多不规则图形，同时也可以对这些不规则
4、图形进行分析。本文将先给出复动力统的定义和概念,并在复平面分析二次多项式的一些性质，利用MATLAB绘制出经典的Mandelbrot集和Julia集，根据图形研究这两种集和的关系。之后我们将复平面上的二次多项式提高到四次多项式，最后通过逃逸时间算法和牛顿迭代法将它们推广到高次，且常数可以为复数的更加一般的情况。主要内容如下：1 分析二次多项式的数学方法给出MATLAB的算法，绘制M-J集的图形。 进 一步研究双二次多项式系统。2 将经典的M-J集推广到高阶，分别用了逃逸时间算法和牛顿迭代算法，给出算法，绘制出图形。关键词： fractal； 动力系统： Mandelbrot集；Julia集；
5、双二次动力系统；广义J-M集；牛顿迭代. 34Fractal graphics rendering and analysis of power systemsAbstract Fractal is a new mathematical development branch disciplines, although the development of 20 years, but many fruitful results have been achieved.Fractal is mainly to study the irregular, complex geometry and deve
6、loped a discipline.Using the fractal theory, and then with the help of MATLAB and VB software such as mathematics, can draw many irregular graphics, but also can analyze these irregular graphics.This article first presents the definition and concept of complex power system, and in the complex plane
7、analysis some properties of quadratic polynomial, use MATLAB to draw out the classic Mandelbrot set and Julia set, according to a study in graphics both of these sets and relations.Then we will be on the complex plane quadratic polynomial to four polynomial, finally through the escape time algorithm
8、 and Newton iterative method to promote them to the high times, and constant for the plural more general situation.The main contents are as follows:1. The mathematical method of quadratic polynomial are analyzed and MATLAB algorithm, drawing graphics of M - J set.Further study of biquadratic polynom
9、ial system.2. Will the classical M - J set to higher order, respectively, with the escape time algorithm and Newton iteration algorithm, algorithm, rendering the graphics.Key words: fractal; power system; Mandelbrot set; Julia set; Pairs of secondary power system; The set of generalized J - M;Newton
10、 iteration.第一章 绪论 1.1 分形理论的起源和发展 分形理起源于上个世纪70年代，创立不久就激起了人们极大的兴趣，与耗散结构、混沌并称为70年代科学史上的三大发现。这门学科发展了三十多年，已经成为了一门独立且研究更加深入的学科。曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1967年在在美国科学( Science) 杂志上发表了的论文英国的海岸线有多长,在这篇具有划时代的论文中他首次阐明了分形思想。通常被认为是“分形”学科诞生的标志。曼德布罗（B.B.Mandelbrot）特在他的随后两本著作自然界的分形几何学和分形：形状、机遇与维数第一次用fractal来表示分形，并且分析了分
11、形的研究思想和研究方法，提出了分形的主要性质，分别为它的自相似性性质和自反射性质。他还进一步分析了分形维数的问题，在传统整数维度的基础之上将分形的维数推广到了分数维度，即分形的维数是具有连续性质的。我们应该认识到自然界的自相似性是广泛存在的，从小的方面看，花草树木中细微的纹理和自身整体的相似，大的方面，宇宙天体系统也存在自相似性质，自相似性是整体宇宙中广泛存在的，且分布在各个层次上。分形发展到现在，已经不是简单的分析传统的集合维数、自相似性、复平面上的二次多项式，而是将分形扩展到了复平面上的高次多项式，即广义的分形，广义的分形对于研究现代信息，时间，微观粒子，结构方面具有先天的优势。现代科技的
12、不断发展，分形已经深入到科技，文化，教育的各个方面。衍生出了更加细致深入的分形科学，比如，分形化学，分形广告学，分形染色学，分形经济学，分形物理和分形生物等等一系列围绕分形研究的学科。 1.2 分形维数的定义 分形维数(fractal dimension)从字面上看可以理解为具有分数维数的几何图形，这是分形理论的重要概念和定义。它是对图形复杂程度和粗糙程度的度量，图形越复杂粗糙，分维就越大。在传统观念里维数只有整数，而分维的提出是人类的认知有了质的飞跃。数学家们利用分形维数的思想和定义找到了点和线之间一种特殊的集合，后来人们将这种集合定义为康托尔集（Cantor），依据点线之间具有康托尔集，后
13、来数学家们又在线和面之间找到了伊农（Henon）吸引子。分形为数有很多定义，最有代表性的是Hausdorff维数。对于任意一个确定维数的几何体，如果用和它维数相同的单位尺度r来度量，大小N（r）和单位尺度r之间有下面的关系： （1.1） 式子中是Hausdorff的维数，它可以是整数，也可以是分数。 1.3 分形理论对科学理论方法产生的影响 分形理论和分形方法的提出对现代科学思想和科学方法产生巨大的影响，它让我们从传统的思维束缚中解放出来，开辟了新的思想领域。它将整体和部分，混乱和规则，有限和无限，连续和间断融合在一起。使人们在混沌无序中认识有序，由部分认识整体和由整体进一步认识部分，从有限到
14、无限再从无限到有限的进一步认识。是人们的认识从线性过度到了非线性。现在，分形理论的发展为各个学科的发展提供了强大的动力，在科学，经济，工业，航空当中发挥着重要作用。第一，分形理论为研究自然界复杂的形状，结构，地质提供了方法。第二，它为混沌学的研究提供了数学工具，分形几何学对混沌几何产生了重要影响。第三，它为研究复杂的自组织提供了新的思路和方法。第四，分形理论对大脑的开发与探索提供了新的思路和方法。 1.4 分形理论的研究现状 分形是一门新兴的学科，发展至今已经取得了丰硕的成果。当前分形的发展主要有三个分支。第一，分形的基础理论研究，如维数的性质与分析，分形集的整体和局部结构，分形的有限与无限的理论的研究。第二，分形理论在实际生活中的应用，如在地理，生命科学，航天航空，艺术等方面都有广泛的应用。第三，分形图形的绘制与分析。现在发展较快的是二和三两个分支，尤其是分形几何在图形方面可以绘制出优美的图案，对现代广告，绘画，衣服的图案都有很大的影响。随着各个学科对分形理
