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1、九年级上册课本亮题拾贝课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性在教学的过程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养211 二次根式题目 计算：（人教课本P8 2（4）题）解 原式=点评 大家知道，当a0时，有意义，且而当a0时，也有意义，此时，进一步的，则等于a（a0）为了预防解题粗心出错（如），通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序和规定运算演变变式1 填空：（1）= ；（2）= （答案：（1） （2）变式2 当x 时，式子
2、在实数范围内有意义？ （答案：）变式3 若是整数，求正整数n的值（至少写出3个）（答案：n = 1，2，9，17等）变式4 是否存在正整数n，使得是有理数？若存在，求出一个n的值；若不存在，请说明理由解 假设存在正整数n，使是有理数，则因为3n + 2是正整数，所以3n + 2应该是一个完全平方数假设3n + 2等于k（k3，k是正整数）的平方，则k = 3p或者3p + 1或者3p + 2，也就是说k除以3余0或者1或者2，而（3p）2 除以3余0，（3p + 1）2 = 9p2 + 6p + 1，（3p + 2）2 = 9p2 + 12p + 4 除以3都余1，所以没有数的平方除以3余2表
3、明3n + 2不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n，使是有理数212 二次根式的乘除题目 计算：（人教课本P15 6（4）题）解 原式= 15另法 原式=点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（a、b0），（a0，b0），可以从左往右正向使用（如另法），也可以从右往左逆向使用（法一），往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用一般情况是尽可能先把根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论）演变变式1 填空：（1）= ；（2）= （答案：（1） （2）因为原式=，2 + 3 = 5，所以设2 = a，3 = b，则 5 = a + b，
4、题目可演变成如下形式：变式2 化简：解 原式= b（a + b）= ab + b2若赋予a一些不同的值（相应的可得到b的值），则可得到一组二次根式的乘法除法试题变式3 甲、乙两同学在化简 时，采用了不同的方法：甲： 因为x，y是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x0，y0，于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=乙： 原式=从而得出了不同的结果请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由解 甲，乙两同学的做法都不正确甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常是一个整体，是被除式正确解法是：原式=213 二次根式的加减题目 已知，求下列各式的值：（
5、1）x2 + 2xy + y2； （2）x2y2 （人教课本P21 6题）解 ， ，xy = 2，xy = 2于是 x2 + 2xy + y2 =（x + y）2 =，x2y2 =（x + y）（xy）=点评 本题属于“给值求值”类型，一般不宜直接代入算值通常的思路是：先把已知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值演变变式1 已知，求：（1），（2）的值解 由已知可得a + b = 2，ab =1（1）原式=（2）原式=变式2 如果实数a，b满足a2 + 2ab + b2 = 12，求的值解 显然b0，于是由已知
6、，得， ，即 ，有，因此说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次，但要注意是否为0啰！），又避免了解方程组的难点本题还可以进一步求出a、b的值 ，（x1）2 = 3，得x22x = 2，结合x0，两边除以x，得，注意到，则=，得变式3 若实数x满足，试求：（1）；（2）；（3）的值（答案 （1）8 （2） （3）22.2 降次 解一元二次方程题目 无论p取何值时，方程（x3）（x2）p2 = 0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由（人教课本P4612题）解 原方程可化为x25x + 6p2 = 0方程根的判别式为 =（5）24（6p2）= 1 + 4p2，
7、对任何实数值p，有1 + 4p20， 方程有两个实数根 x1 =，x2 =，且两个根不相等另法 由 p2 =（x3）（x2）= x25x + 6 =，得 ，无论p取何值，因此点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法（1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别式（2）见到含字母系数的二次方程，在实数范围内，首先应有0；若字母在二次项系数中，则还应考虑其是否为0（3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根
8、据具体题目的特点来确定）： 利用求根公式求出根来； 利用根与系数的关系将这两个根的和与积表达出来：x1 + x2 = x1x2 =，以便后继作整体代换； 将根代入方程中进行整体处理演变变式1 分别对p赋值0，2，等，可得如下确定的方程：解方程：（1）x25x + 6 = 0；（2）x25x + 1 = 0；（3）4x220x + 21 = 0变式2 当x取什么范围内的值时，由方程（x3）（x2）p2 = 0确定的实数p存在？请说明理由解 对任意实数p，有p20，所以只需p2 =（x3）（x2）0，利用同号相乘得正的原理，得x应满足 或 解得x3或x2 表明，当x取x2或x3范围内的实数时，由方
9、程（x3）（x2）p2 = 0确定的实数p存在变式3 指出方程（x3）（x2）p2 = 0的实数根所在的范围？解 方程有两个不相等的实数根x1 =，x2 =，且对任意实数p，有1 + 4p21， 有x1，x2，即方程的实数根所在的范围是x2或x3变式4 试求y =（x3）（x2）的最小值解 由 y =（x3）（x2）= x25x + 6 =，得 y的最小值为，当时取得22.3 实际问题与一元二次方程题目 如图，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3:2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1 cm）？（人教
10、课本P5310题）分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合）矩形图案中，长30 cm，宽20 cm现设计了横、竖彩条各2条，且其宽度比为3:2，于是设横彩条宽为3x cm，则竖彩条的宽就为2x cm，其长与矩形图案的长宽相关等量关系式为“使彩条所占面积是图案面积的四分之一”解 根据题意，设横向彩条的宽为3x，则竖向彩条的宽为2x，于是，2x 2x3x3x3020建立方程，得 ，化简，得 12x2130x + 75 = 0解得 因此横向彩条宽1.8 cm，竖向彩条宽1.2 cm另法 如图，建立方程，得 法三 如图，建立方程，得 点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：（1）设：即设好未知数（直接
11、设未知数，间接设未知数），不要漏写单位；（2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；（3）解：解所列方程；（4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；（5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位演变变式1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面积是图案面积的四分之一，求彩条的宽 （答案：）变式2 矩形图案的长、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？解 因为矩形图案的长、宽比为30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比
12、也应为3:2，设其长为3x，则宽为2x，所以 ，得 ，从而上、下边宽为，左、右宽为 xx变式3 如图，一边长为30 cm，宽20 cm的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器求所得容器的容积V关于截去的小正方形的边长x的函数关系式，并指出x的取值范围解 根据题意可得，V关于x的函数关系式为：xV =（302x）（202x）x即 V = 4x3100x2 + 600x，x的取值范围是0x10变式4 在一块长30 m、宽20 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等小明通过列
13、方程，并解方程，得到小路的宽为2.5 m或22.5 m小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同解答下列问题：（1）小明的结果对吗？为什么？（2）请你帮小亮求出图乙中的x ？（3）你还有其他设计方案吗？20 m30 mx20 m30 m20 m30 m甲 乙解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x米则根据题意，列出方程，得 ，即 x225x + 75 = 0，解得x =或x =由于矩形荒地的宽是20 m，故舍去x =，得花园四周小路宽为m，所以小明的结果不对（2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径为x米，列
14、方程得 ，所以m（3）略23.1 图形的旋转题目 如图，ABD，AEC都是等边三角形BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P679题）BCDAE解 ABD是等边三角形， AB = AD，BAD = 60同理AE = AC，EAC = 60 以点A为旋转中心将ABE顺时针旋转60 就得到CAD， ABEADC，从而 BE = DC另法 ABD，AEC都是等边三角形， AB = AD，AE = AC，BAD =EAC = 60，于是 CAD =CAB +BAD =CAB +EAC =EAB从而有 CADEAB， DC = BE点评 由于旋转是刚体运动，旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图
