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1、. . 平行四边形的性质与判定一、总结平行四边形的性质与判定原理：性质原理判定原理 边1、 两组对边分别平行；2、 两组对边分别相等；1、 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角3、对角相等；邻角互补；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；线4、对角线互相平分。5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。问题1我们学习平行四边形的性质是从哪几个方面来研究的？ 从“边、角、线”三个方面，其中“线”指的是对角线。问题2判定一个四边形是平行四边形必须有几个条件？ 必须具备两个条件；注意判定原理5“对角线互相平
2、分”也是两个等量。 图P-01二、总结与平行四边形相关的性质：（注意，以下性质只可用来指导解证题，在填空、选择题中可直接使用，但在解答题中不可直接当作原理使用）平行四边形对角线相关性质 平行四边形每一条对角线将其分成两个全等的三角形；平行四边形的对角线将其分成四个面积相等的小三角形；相对的两个小三角形全等；相邻两个三角形的周长之差就等于边长之差。 如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，则ABO、ADO、CDO、CBO的面积相等。依据是每相邻两个三角形都是“等底同高”。 练习如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，若SABO=2，则SABD=；SABCD=如图P-01，点O是对角线AC、B
3、D交点，则图中共有对全等三角形。如图P-01，已知，ABCD的周长为28，点O是对角线AC、BD交点，ABO的周长比CBO的周长多4，则AB=，BC= 图P-02如图P-01，点O是对角线AC、BD交点，已知AB=8，BC=6，ABO的周长为17，则CBO的周长= 在平行四边形，过对角线交点且两端点在平行四边形边上的线段一定被对角线交点平分；如图P-02，点O是对角线AC、BD交点，线段 EF过点O，则OE=OF；证AEOCFO即可练习如图P-02，ABCD中，EF过对角线交点O，若AB=5，BC=4，EO=3，则四边形CDEF的周长为 图P-03如图P-03，ABCD中有圆O，请你画一条直线
4、，将此平行四边形与圆O的面积分成相等的两部分。若设平行四边形两条对角线长分别为2和2()，则此平行四边形每条边长的取值围为练习如图P-01，若AC=8，BD=12，则 AB的取值围是三角形一边上的中线的取值围为：大于另两边之差，小于另两边之和。 图P-04 如图P-04，已知D为ABC中BC边上的中点， AB=5，AC=7，求AD的取值围。提示延长AD至E，使DE=AD，连结BE、EC，易证得ABEC；记住此法：倍长中线法，是常用的辅助线作法四边形四边中点连线性质顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形； 图P-05 如图P-05，连结AC，由三角形中位线原理可得：HG、EF都平行且等于
5、AC，HG平行且等于EF，得平行四边形 注：此性质在学习了菱形、矩形后还有扩充。等腰三角形与平行线相关性质从等腰三角形底边上任一点做两腰的平行线， 图P-06可得一平行四边形和两个小的等腰三角形，且平行四边形的周长等于两腰长之和；如图P-06，AB=AC，DEAC，DFAB 易得1=B，2=C，而B=C，1=C，2=B练习如图P-06，ABC中，AB=AC=6，D是BC上 一点，DEAC，DFAB，求四边形AFDE的周长。 图P-07一条角平分线与平行线相交时常会出现等腰三角形； 如图P-07，ABCD，1=2，则易证1=3，2=3，得等腰AED练习如图P-08，在ABCD中，AB=7，AD=
6、3，DAB的的平分线交CD于E，交BC的延长线 图P-08于F，求CF长 如图P-09，ABC中，ABC与ACB的角 图P-09 平分线交于点F，DEBC且过点F 求证：DE=BD+EC中位线相关性质 三角形中位线原理： 三角形的中位线平行且等于第三边的一半； 三角形中位线原理推论：过三角形一边中点且平行另一边的直线必平分第三边。 图P-10 如图P-10，D、E分别为AB、AC中点，则有： DEBC，DE=BC；若已知D为AB中点， DEBC，则有：AE=CE练习证明三角形中位线原理推论 已知： 求证： 证明：三角形的三条中位线将原三角形分成的四个小三角形的全等，周长都等于原三角形周长的一半
7、，面积都等于原三角形面积的1/4。 图P-11 如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点，则图中 四个小三角形都全等，且面积都等于ABC面积的1/4；周长都等于ABC周长的1/2；图中共有3个平行四边形。练习如图P-11，D、E、F分别是ABC三边中点， AB=6，AC=7，BC=10，则DEF的周长为 图P-12三、典型题例与解题思路 例1如图P-12，ABCD中，E、F为AC上两点， 且AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形思路分析 本类题型是在平行四边形中求证某四边形是平行四边形，证题思路较有规律，都是先由原平行四边形得到一些条件，再证得其它条件，或由全等三角形或由平行四边形的
8、判定原理得到所要求证的四边形是平行四边形。 在证本类题型时，首先要想清楚自己要选用哪种方法（原理）来证。几何证明题的方法往往有多种，不一定要是最简单的，但在找条件时不能乱，不要所有能用的不用的都写上去。以此题为例，我们要证BFDE，可以选用的方法有“两组对边分别相等”、 “两组对边分别平行”、 “一组对边平行且相等”、“对角线互相平分”等方法，选定一种后，就找对应的条件。 我们先看第一种方法：两组对边分别相等。要证DE=BF，BE=DF，我们可以用全等来证，先用AEBCFD得BE=DF，再同理得DE=BF。解题格式 证： 有ABCD （已知）AB=CD，ABCD（平行四边形性质）1=2 （两直
9、线平行，错角相等） 又AE=CF （已知） 在AEB和CFD中：AB=CD 1=2 AE=CFAEBCFD （SAS）BE=DF （全等性质） 同理：DE=BF 有DEBF （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）同题练习 用“一组对边平行且相等”来证： 用“对角线互相平分”来证：同类练习 如图P-13，ABCD中，E、F分别为AB、CD中点，AF、DE相交于G，CE、BF相交于H。求证：四边形EHFG是平行四边形思路分析可以先用来证DEBF，从而得DEBF；再同理证得；最终用的原理来证得。 图P-13 解题过程 如图P-14，ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且DF=BE， 图P-1
10、4 求证：AF=CE思路分析可以用全等的方法证，也可以直接证AECF，从而得对边相等。解题过程 方法一：用全等的方法 方法二：先证AECF 求证：平行四边形一条对角线的两个个端点到另一条对角线的距离相等。 （要求画图，写出已知、求证并证明） 图P-15例2如图P-15，O是ABC一点，D、 E、F、G分别是AB、AC、OB、OC的中点 求证：四边形DEFG是平行四边形思路分析 此类题型是利用中位线原理来证题，要 证DEFG，只要证一组对边平行且相等就 可以了；我们可以选定DE与FG解题过程 证： 在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点 DEBC，DE=1/2BC （三角形中位线性质） 同理：
11、FGBC，FG=1/2BC FG=DE （等量代换）FGDE 有DEFG（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）练习求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。 （写出已知、求证并证明）菱形的性质与判定一、菱形的性质与平行四边形的性质比较平行四边形菱形变化情况边1、对边平行1、对边平行不变2、对边相等2、四边相等升级角3、对角相等3、对角相等不变线4、对角线互相平分4、对角线互相平分且垂直升级5、每条对角线平分每一组对角新性质二、菱形的性质与判定比较性质判定边1、对边平行2、四边相等1、四条边都相等的四边形是菱形2、一组邻边相等的平行四边形是菱形角3、对角相等线4、对角线互相平分且垂直
12、3、对角线互相垂直平分的四边形是菱形4、对角线互相垂直的平行四边形是菱形5、每条对角线平分每一组对角三、观察上表，你能发现什么特点？除了上表中的四种判定法之外，你还能找出哪些判定菱形的方法？所有这些方法，你能发现它们的共同点吗？你能不能用一句话说明，到底怎样判定菱形的？上表的特点是：判定菱形，只用到了边与线，而且用边来判定时只用到了“四边相等”的性质；用“线”来判定时只用到了“互相垂直平分”的性质。另外，如果已知的是四边形，就必须要有三个条件才能证得菱形，如果已知的是平行四边形，那么就只要再有一个条件就可以了。 除了表中的四种方法，还可以这样判定菱形：例如，先用“两组对边分别平行”来证一个四边形是平行四边形，再证它的一组邻边相等，或证它的对角线互相垂直这样就有很多的方法了。如果用一句话来总结，那就是：只要能先证它是平行四边形，再证它一组邻边相等或对角线互相垂直就可以了！四、菱形中的重要解题性质 菱形的面积与对角线关系原理菱形的面积等于对角线乘积的一半 图L-01 如图L-01，菱形ABCD对角线相交于O，则 S菱形ABCD=ACBD含60o或120o角的菱形相关性质菱形中若有一角为60o或120o，则菱形被较短的对角线分成两个等边三角形；较长的对角线等于边长的倍。如图L-01，BAD=60o，则有：等边ABD，等边BDC，AC=BD=AB菱形
