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1、第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念学习目标学习目标素养要求素养要求1通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象2理解平面向量的几何表示和基本要素数学抽象3理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理|自 学 导 引|向量的定义及表示1定义：既有_，又有_的量叫做向量2表示(1)有向线段：具有_的线段它包含三个要素：_、方向、长度大小方向方向起点(2)向量的表示：【预习自测】判断下列命题是否正确(正确的画“”，错误的画“”)(1)向量就是有向线段()(3)力、速度和质量都是向量()【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)向量可以用有
2、向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段(2)向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小(3)质量不是向量(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？【提示】(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量向量的有关概念1个单位长度相同或相反平行相等相同【预习自测】判断下列命题是否正确(正确的画“”，错误的画“”)(1)若a，b都是单位向量，则ab()(2)若ab，且a与b的起点相同，则终点也相同()(3)零向量的大小为0，没有方向()【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b方向可能不同(2)若
3、ab，则a与b的大小和方向都相同，当起点相同时，终点必相同(3)任何向量都有方向，零向量的方向是任意的|课 堂 互 动|题型1向量的有关概念(1)下列各量中是向量的是()A时间B加速度C面积D长度(2)给出下列命题：零向量没有方向；若单位向量的起点相同，则终点相同其中真命题的个数为()A1B2C3D0【答案】(1)B(2)A解决与向量概念有关问题的关键(1)共线向量的方向相同或相反，长度没有限制(2)相等向量的方向相同且长度相等(3)单位向量方向没有限制，但长度都是一个单位长度(4)零向量的方向没有限制，长度是0，规定零向量与任一向量共线1汽车以100 km/h的速度向东行驶2 h，而摩托车以
4、 50 km/h的速度向南行驶2 h，则有下列说法：汽车的速度大于摩托车的速度；汽车的位移大于摩托车的位移；汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程其中正确的个数是()A0B1C2D3【答案】B【解析】向量不能比较大小，速度、位移是向量数量可以比较大小所以只有正确(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量长度相等的向量，再确定哪些是同向的向量(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量注意不要漏掉以表示已知向量的终点为起点，起点为终点
5、的向量提醒：在与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量2(多选)如图，四边形ABCD为正方形，BCE为等腰直角三角形下列命题正确的有()【答案】ABC题型3向量的表示及应用一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30方向行驶2千米到达D地，然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地解：(1)作出向量如图所示(2)D在A北偏东30方向上，B在C南偏西30方向上，ADBC又ADBC2，四边形ABCD是平行四边形ABDC6C在D北偏东60方向上，B在A北偏东60方向6千米处(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答(2)作向
6、量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点3一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点易错警示忽略了零向量的特殊性致误给出下列命题：向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；若m，n都是单位向量，则mn其中不正确命题的序号是_错解：易错防范：解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性|素 养 达 成|1
7、从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量(体现逻辑推理核心素养)3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆【答案】C2(题型2)下列命题中正确的是()A若ab且|a|b|，则abB若ab，则ab且|a|b|C若|a|b|，则abD若ab，则a与b方向相反且|a|b|【答案】B【解析】两个向量相等需同向等长，反之也成立，而A，C中a，b可能反向，故A，C错误，B正确；D中两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等【答案】B【答案】【解析】序号正误原因0是一个向量，而0是一个数量向量不能比较大小单位向量的模均为1，但方向不确定
