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1、两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容1分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有m种不同的方法在第n类办法中有m种不同的方法，那么完成这件事共有N二m+m +m种不同的方法2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m种不同的方法，做第2步骤有m种不同的方法做第n步骤有m种不同的方法，那么完成这件事共有N二mXm xx m种不同的方法.例题分析例1某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？分析：1完成的这件事是什么？2 、如何完成这件事？(配一个荤菜、配一个素菜、配
2、一汤)3 、它们属于分类还是分步？(是否独立完成)4 、运用哪个计数原理？5 、进行计算.解：属于分步：第一步 配一个荤菜 有3种选择第二步配一个素菜 有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有 N=3X 5X2=30 (种)例2有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有 4本不同的语文书。(1) 从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2) 从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？(1) 分析：完成的这件事是什么？2 、如何完成这件事？3 、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4 、运用哪个计数原理？5 、进行计算。解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二
3、类 从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9 （种）（2）分析：1完成的这件事是什么？2 、如何完成这件事？3 、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4 、运用哪个计数原理？5 、进行计算.解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步 从下层取一本书有4种选择共有 N=5X 4=20 （种）例3、 有1、2、3、4、5五个数字.（1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析：1、完成的这件事是什么？2 、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数）3 、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）4 、
4、运用哪个计数原理？5 、进行计算.略解：N=5X 5X5=125 （个）【例题解析】某人有4条不同颜色的领带和 6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法?2、有一个班级共有 46名学生，其中男生有 21名.(1) 现要选派一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法？(2) 若要选派男、女各一名学生代表班级参加学校的学代会，有多少种不同的选派方法?8. 组合数公式：c； Am n(n 1)(n 2)L(n m 1)或c：(n,m N ,且m n).Amm!m!(n m)!9. 组合数的性质1： cnm cnm.规定：co 1 ；10. 组合数的性质 2： cnn1 = g+
5、cnr + cn0+c?+cnn=2n3、有0、1、2、3、4、5六个数字.(1) 可以组成多少个不同的三位数？(2) 可以组成多少个无重复数字的三位数？(3) 可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数?排列与组合1. 排列的概念：从n个不同元素中，任取m ( m n )个元素(这里的被取元素各不相 同)按照一定的顺序 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2. 排列数的定义：从n个不同元素中，任取m ( m n )个元素的所有排列的个数叫做 从n个元素中取出m元素的排列数，用符号a：表示.3. 排列数公式：n(n 1)(n 2)L (n m 1) (m,n N , m n)4.
6、 阶乘：n!表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，规定0! 1 .5. 排列数的另一个计算公式：阳= (n m)!6. 组合概念：从n个不同元素中取出m m n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合+7. 组合数的概念：从n个不同元素中取出m m n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号cm表示.题型讲解例1分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1) 6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2) 6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3) 从6名运动员中选出4人参加4 X 100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；(4) 6
7、人排成一排，甲、乙必须相邻；(5) 6人排成一排，甲、乙不相邻；(6) 6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边(甲、乙、丙可以不相邻)解：(1)分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为A 720(2) 甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A1种选法，然后其他5人选，有 A种选法，故排法种数为A4 A5480(3) 有两棒受限制，以第一棒的人选来分类： 乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为a3 ； 乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有A：种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有A：种选法，其余两棒次不受限制，故有a：a4a2种排法，由分类计数原理，共有 A A：a4a225
8、2种排法(4) 将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有 AfAs 240种排法(5) 甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有 A：A；(或用6人的排列数减去问题(2)后排列数为 A 240 480 )(6) 三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余人在3个位置上全排列，故有排法 C；A；120种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻第一类不含某特殊元素a的排列有Am1第二类含元素a的排列则先从 n 1个元素中取出 m 1个元素排列有A：,
9、种，然后将a插入,共有m个空档，故有m Anm11种，因此m 1mAn 1An利用组合数公式例2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品解：（1）没有次品的抽法就是从 97件正品中抽取5件的抽法，共有C97 64446024种（2） 恰有2件是次品的抽法就是从 97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共 有 C；7c；442320 种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有C97C；种第二类从97件正品中抽取2件，并将3件
10、次品全部抽取，有 C&C；种2n !另法：利用公式cm Cnn1 cm11推得左 Cm 1mnCnCmm 1n Cn点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质例4 已知f是集合A a,b,c,d至傑合B 0,1,2的映射按分类计数原理有C；7c； c&c；446976种点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有 2件是次品），再从余 下的98件产品中任意抽取 3件的抽法，那么所得结果是 C；C；8466288种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A B
11、、C,第一步先抽 A B第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A C （或B C）,第二步再抽B （或A）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式C；C；8中算作3种不同抽法例 3 求证： Anm1 mAnm11 a：: cm1Cmn1 2叫Cm 1 n 2证明：利用排列数公式n m n 1! m n 1 !n !a：右nm !n m !另一种证法：（利用排列的定义理解）从 n个元素中取m个元素排列可以分成两类:Cm 1nm 1n1 Cn1 Cn 2 右（1）不同的映射f有多少个？（2） 若要求fa f b f c f d4则不同的映射f有多少个？分析：（1）确定一个映射f，需要确定a, b,
12、c, d的像（2） a, b, c, d的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算解：（1） A中每个元都可选 0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有3 3 3 3 34个不同映射（2）根据a,b,c, d对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2，其和又为4,必然其像均为1,这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为 0,1,1 ,这样的映射有12个；不同的取法有多第三类：二个元素的像是 2，另两个元素的像必为 0,这样的映射有 C426个由分类计数原理共有 1+12+6=19 （个）点评：问题（
13、1）可套用投信模型：n封不同的信投入 m个不同的信箱，有 mn种方法；问题 （2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏例5四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为 A,从其他9点中取3个点，使它们和点 A在同一平面上， 少种？（2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？P.BZC解：（1）如图，含顶点 A的四面体的三个面上，除点 A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C5种取法含顶点A的棱有三条，每条棱上有 3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点 A共面三点取法共有3C；333种（2）取出的4点不共面比取出的 4点共面的
14、情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点4（C10种取法）减去4点共面的取法取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有4C；种取法第二类：每条棱上的 3个点与所对棱的中点共面，有6种取法第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有4C；6369故取4个点不共面的不同取法有 C10 4C；6 3141 （种）点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不 共线，点共面与不共面，线共面与不共面等 小结：m个不同的元素必须相邻，有pmm种“捆绑”方法-m个不同元素互不相邻，分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置有Pnm种不同的“插入”方法+m个相同的元素互不相邻，分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置，有Cn种不同的“插入”方法.若干个不同的元素“等分”为m个组，要将选取出每一个组的组合数的乘积除以pmm.【例题解析】例1完成下列选择题与填空题（1） 有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有种。B.64（2）四名学生争夺三项冠军，获
