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1、第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值学习目标素养要求1.通过具体的实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征数学抽象2.能计算简单离散型随机变量的均值数学运算自学导引一般地，若离散型随机变量X的分布列为离散型随机变量的均值或数学期望Xx1x2xnPp1p2pnx1p1x2p2xnpn加权平均数平均水平【预习自测】思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同()(3)随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平()【答案】(1)(2)(3)一
2、般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)0(1p)1 pp.【预习自测】已知Y的分布列如下表，则Y的期望为_.两点分布的期望一般地，下面的结论成立：E(aXb)_aE(X)b离散型随机变量的均值的性质【预习自测】设E(X)5，则E(2X3)_【答案】13【解析】E(2X3)2E(X)325313.课堂互动(2023年郑州期末)甲、乙、丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区的志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的，求三人选中的赛区个数的均值题型1利用定义求离散型随机变量的均值求离散型随机变量均值的步骤求离散型随机变量均值的关键是写出分布列，一般
3、分为四步：确定X的可能取值；计算出P(Xk)；写出分布列；利用E(X)的公式进行计算已知随机变量X的分布列为题型2离散型随机变量均值的性质【例题迁移1】(改变问法)本例条件不变，若Y2X3,求E(Y).与离散型随机变量性质有关问题的解题思路若给出的随机变量与X的关系为aXb(a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E()；也可以利用X的分布列得到的分布列，解题关键是由X的取值计算的取值(对应的概率相等)，再由定义法求得E().2已知随机变量和，其中127，且E()34，若的分布列如下表，则m的值为()【答案】A(2023年北京模拟)随机抽取某厂的某种产品2
4、00件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润(单位：万元)为.(1)求的分布列和均值；(2)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？题型3均值的实际应用6212P0.630.250.10.02E()60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元).(2)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E()60.72(10.7x0.01)1x(2
5、)0.014.76x.由E()4.73，得4.76x4.73，解得x0.03.所以三等品率最多为3%.实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论3某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表
6、所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元7.5万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元额外聘请工人的成本为a万元已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益(2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意知p20.36，解得p0.6，则下周一有雨的概率为1p10.60.4.基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X20)0.36，P(X15)0.24，P
7、(X10)0.24，P(X7.5)0.16，所以基地收益X的分布列为X2015107.5P0.360.240.240.16基地的预期收益E(X)200.36150.24100.247.50.1614.4(万元).(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，则其预期收益E(Y)200.6100.4a16a(万元)，E(Y)E(X)1.6a.综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；当成本低于1.6万元时，外聘工人；当成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)X)()A0B1C2E(X)D不确定错解：由于E(E(X)X)E(E(X)E(X)，E(E
8、(X)不确定，故选D易错警示对离散型随机变量均值的性质理解不清致误易错防范：离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平正解：由离散型随机变量均值的性质知，当YaXb，其中a，b为常数时，有E(Y)aE(X)b.又因为E(X)是常数，所以E(E(X)X)E(X)E(X)E(X)E(X)0.素养达成1求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量X的取值；(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式求出均值2设p为一次试验中成功的概率，则两点分布的均值E(X)p.3若X，Y是两个随机变量，且YaXb，
9、则E(Y)aE(X)b.1(题型1)已知离散型随机变量X服从两点分布，其分布列为则X的均值E(X)等于()【答案】D2(题型2)已知随机变量X的分布列为则E(5X4)等于()A15B11C2.2D2.3【答案】A【解析】由随机变量X的分布列，可得期望E(X)10.420.340.32.2，所以E(5X4)5E(X)411415.故选AX124P0.40.30.33(题型3)(2023年漳州模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：A品牌的使用年限2345概率0.4
10、0.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析()A不更换设备B更换为A设备C更换为B设备D更换为A或B设备均可【答案】C【解析】设更换为A品牌设备使用年限为X，则E(X)20.430.340.250.13，更换为A品牌设备年均收益为310060240(万元)；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则E(Y)20.130.340.450.23.7，更换为B品牌设备年均收益为3.710090280(万元).280240，所以更换为B品牌设备4(题型1)(2023年苏州期末)设X是一个离散型随机变量，其分布列为则X的均值为_5(题型2，3)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n1，2，3，4)个现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、均值；(2)若a4，E()1，求a的值
