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1、七彩教育网 http:/本资料来源于七彩教育网http:/9.1 合情推理与演绎推理【知识网络】 1、合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2、演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理 。3、三段论推理是演绎推理的主要形式，常用格式为：MP（M是P）大前提SM（S是M）小前提SP（S是P）结论4、合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。【典型例题】例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列4
2、1，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是 （ ）A1643B1679C1681D1697答案：C。解析：观察可知：累加可得： ，验证可知1681符合此式，且4141=1681。（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；由向量加法的几何意义可以类比得到复数
3、加法的几何意义. 其中类比错误的是 ( )A. B. C. D. 答案：D 。解析：由复数的性质可知。（3）定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( ) （1） （2） （3） （4） （A） （B）A. B. C. D.答案：B。 （4）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。答案：。解析：采用解法类比。 （5）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；
4、从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数 (写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。答案：y=2x。解析：形如函数y=kx (k0)即可，答案不惟一。 例2：已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=（ * ）并给出（ * ）式的证明。答案：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确。）例3：在ABC中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直
5、的四面体ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。例4： 请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案： 推广的结论：若 都是正数， 证明： 都是正数 ， 【课内练习】1给定集合A、B，定义，若A=4,5,6,B=1,2,3,则集合中的所有元素之和为 （ ）A.15 B.14 C.27 D.-14答案：A 。 解析：，1+2+3+4+515。 2观察式子：，则可归纳出式子为（ ）A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。3有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线平面，则直线
6、直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。4古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为 。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。5数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列，若= ，则数列也为等比数列.答案：。6“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平
7、分。7在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用表示)图1图2图3图4答案：66, 。解析：利用归纳推理知。8在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设
8、想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .答案：。9已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关
9、的定值。证明如下：设，其中设，由，得将代入得。10观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：（）求第六行的第一个数（）求第20行的第一个数（）求第20行的所有数的和答案：（）第六行的第一个数为31（）第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是 第20行的第一个数为3 （）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数设第20行的所有数的和为则【作业本】A组1在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25项为 （ ）A25 B6 C7 D8 答案：C。解析：对于中，当n时，有所以第项是。OxABFy2如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当
10、时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ） A. B. C. D. 答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角应用勾股定理,得,即有,注意到,变形得.3下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）A、两条直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线的同旁内角，则A+B=180B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D、在数列中，由此推出的通项公式答案：A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。4由正方形的对角线相等；平
11、行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。答案：。解析：是大前提，是小前提，是结论。5公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。 答案：，；300。解析：采用解法类比。 6二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数6，按角谷的作法有：62=3，33+1=10，35+1=16，1
12、62=8，82=4，42=2，22=1，其过程简记为63105168421。取自然数7，则有7221134175226134020101。取自然数100，则100502576381958298844221。归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。7圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。答案：KOMKAB=。证明：设，则=0即KOMKAB=，而，即KOMKAB1OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。8已知、是锐角，且满足。（1）求证：；（2）求证：，并求等号成立时的值。答案：（1）证明：即。（2）证明：，、为锐角，。当且仅当时，取“=”号，此时，。B组1为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知
