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1、解密02 三角恒等变换与解三角形A组 考点专练一、选择题1若sin ，则cos 2等于()A. B.C D【答案】B【解析】sin ，cos 212sin2122.2tan 70tan 50tan 70tan 50的值为()A. B.C D【答案】D【解析】因为tan 120，即tan 70tan 50tan 70tan 50.3.已知sin ，sin()，均为锐角，则等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】由，为锐角，则0.根据正弦定理可知sin Asin Bsin C456，A正确.由c为最大边，cos C0，即C为锐角，得ABC为锐角三角形，B不正确.a为最小边，cos A，则c
2、os 2A2cos2A121cos C.由2A，C(0，)，可得2AC，C正确.若c6，则2R(R为ABC的外接圆的半径)，则ABC的外接圆的半径为，D正确.故选ACD.二、填空题6.(2020江苏卷)已知sin2，则sin 2的值是_.【答案】【解析】因为sin2，所以，即，所以sin 2.7.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_.【答案】6【解析】由余弦定理得b2a2c22accos B.又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，c2(舍去)，a4，SABCacsin B426.8.ABC的内角A，B，C的对边分别为
3、a，b，c，bcos C与ccos B的等差中项为acos B，则B_；若ac5，ABC的面积S，则b_.【答案】【解析】因为bcos C与ccos B的等差中项为acos B，所以2acos Bbcos Bccos B.由正弦定理可得2sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B，即2sin Acos Bsin(BC)sin(A)，即2sin Acos Bsin A.因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B.因为B(0，)，所以B.因为ABC的面积S，所以acsin B，所以ac4.由余弦定理，得b.三、解答题9.在cos A，cos C；csin Csin Absi
4、n B，B60；c2，cos A三个条件中任选一个填至横线上，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，_，求ABC的面积S.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)【解析】选.cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得b，Sabsin C3.选.csin Csin Absin B，结合正弦定理，得c2ab2.a3，b2c23.又B60，b2c2923cc23，c4，Sacsin B3.选.c2，cos A，结合余弦定理，得，即b250，解得b或b2(舍去).又sin A
5、，Sbcsin A2.10.(2020全国卷)ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值.【解析】(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB.由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A.由得cos A.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sin B，AB2sin(AB)3cos Bsin B.故BCACAB3sin B3cos B32sin.又0Bc，所以BC.因为ADB30C，ADC30B，所以ADBc，所以BC.又BC120，所以B60BAD，所以ADBD，所以AD3，所以cos
6、ADB.故选B.12.(2020江苏卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a3，c，B45.(1)求sin C的值；(2)在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值.【解析】(1)在ABC中，因为a3，c，B45，由余弦定理b2a2c22accos B，得b29223cos 455，所以b.在ABC中，由正弦定理，得，所以sin C.(2)在ADC中，因为cosADC，所以ADC为钝角.而ADCCCAD180，所以C为锐角.故cos C，则tan C.因为cosADC，所以sinADC，所以tanADC.从而tanDACtan(180ADCC)tan(ADCC)
7、.13已知向量a(sin 2x，cos 2x)，b(cos ，sin )，若f(x)ab，且函数f(x)的图象关于直线x对称(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)，且b5，c2，求ABC外接圆的面积【解析】(1)f(x)absin 2xcos cos 2xsin sin(2x)，函数f(x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，k，kZ，又|，.f(x)sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)f(A)sin，sin1. 又A(0，)，2A，2A，A.在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A2512252cos 7，a.设ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R2，R，ABC外接圆的面积SR27.
