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1、1.1 计算机中的常用数制数制，是数的制式，是人们利用符号进行计数的一种方法。在计算机中，常用的数制有十进制（Decimal）、二进制（Binary）、十六进制（Hex-decimal）及八进制（Octal）。下面讨论计算机常用数制的特点、表示形式、运算和相互间的转换。一 十进制十制数的表示方法：( * )10 或 * D。十进制共有10个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。它的基数是10，即逢十进位。十进制数在计数过程中，当其中的某一位计满10时就向它邻近的高位进一。一个十进制数的大小，不仅与它本身的数码大小有关，而且还与它在数中所处的位置有关。在数学中，是采用幂基数形式来表示
2、一个十进制数的。例如： 式中的10称为数的基数，即数制的基。指数、和称为权。整数部分中每位的幂是该位位数减1；小数部分中每位的幂是该位小数的位数。任何一个十进制数都可以写成以10为基数按权展开的多项式，即：式中：（，）表示各位上的数字二 二进制1计算机中为何采用二进制数：十进制的缺点：数码多，对计算机逻辑电路要求高。二进制的优点：使用电子器件表示两种物理状态容易实现，两种状态的系统稳定性高，二进制运算简单、硬件容易实现、存储和传送可靠等。（1）可行性 二进制数只有0、1两个数码，采用电子器件很容易实现，而其它进制则很难实现。 （2）可靠性 二进制的0、1两种状态，在传输和处理时不容易出错。 （
3、3）简易性 二进制的运算法规简单，这样，使得计算机的运算器结构大大简化，控制简单。 （4）逻辑性 二进制的0、1两种状态，可以代表逻辑运算中的“假”和“真”两种值。2. 二进制数的特点及表示方法二进制数的表示方法：( * )2 或 * B。二进制共有2个基本数码：0、1。它的基数是2，即逢2进位。从二进制的0和1两个数码，可以看出它比十进制要简单得多。这仅有的两个数码，使二进制成了计算机进行计算、判断、记忆的基本符号和依据。二进制同样也可以展开成幂级数的形式，如式中的2称为数的基数，即数制的基。指数、和称为权。整数部分中每位的幂是该位位数减1；小数部分中每位的幂是该位小数的位数。任何一个十进制
4、数都可以写成以10为基数按权展开的多项式，即：式中：（，）表示各位上的数字三 十六进制十六进制数的表示方法：( * )16 或 * H。十六进制共有16个基本数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。任何一个十六进制数都是由其中的一个数或全部数码构成的。十六进制数的基数是16，即逢16进位。十六进制数可以展开成幂基数形式。例如： 任何一个十六进制数都可以写成以16为基数按权展开的多项式，即：式中：（，）表示各位上的数字为方便起见，现将十进制、二进制和十六进制的对照表列于表中。十进制二进制八进制十六进制000000010001112001022300113340100
5、44501015560110667011177810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E15111117F小数十进制二进制八进制十六进制00000.50.10.40.80.250.010.20.40.1250.0010.10.20.06250.00010.040.10.031250.000010.020.080.0156250.0000010.010.043、二进制转换成十进制：例3(1101)2123+122+021+1208401(13)10例4(10110.101)2 124+023+122+121+020+
6、12-1+02-2+12-316+0+42+00.5+0+0.125(22.625)10结论：把二进制转换成十进制只要把二进制数写成基数2按权展开的多项式。十进制转换成二进制：整数部分：除2取余法、倒读。小数部分：乘2取整法、顺读。例5100D B 2| 100 余数 2| 50 0 (最低位) 2| 25 0 2| 12 1 2| 6 0 2| 3 0 2| 1 1 0 1 (最高位) 答案：100D1100100B例60.625D= B 乘2取整： 整数部分 0.625 2 1.250 10.25 2 0.50 0 2 1.0 1答案：0.625D= 0.101B整合：100.625D=1
7、100100.101B采用的方法 基数连除、连乘法 原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。 整数部分采用基数连除法，小数部分 采用基数连乘法。转换后再合并。采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。1、十六进制转换成十进制方法：把十六进制数写成基数16按权展开的多项式例10（58）165161+8160808（88）10例11（1AB.C8）161162+10161+11160+1216-1+816-2256+16011+0.750.03125（427.78125）102、十进制整数转换成十六进制法则：除十六取余法(倒读)例12（3901）10（113）16练习：（1262）1
8、6（4EE）16二进制数与十六进制数的相互转换二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。也可以1.1.2 数制转换数值相等，记数方法（数值）不同的数之间的转换。数制转换的本质是权值的转换。1.1.2.1 任意进制到十进制的转换利用任意进制数的按权展开式，可以将一个任意进制数转换成等值的十进制数。例如：(1011.01)2 =123+022+121+120+02-1+12-2=(11.25)10例如：(8FA.C)16=8162+F161+A160+C16-1=2048+240+10+0.75=(2298.75)101.1.2.2 “十二”进制转换考查整数部
9、分，数的二进制按权展开式：设：(D)10可以由n位二进制数表示，即 (D)10=(kn-1kn-2,k1k0)2存在：(D)10=kn-12n-1+kn-22n-2+k121+k020余数整数的商(D)10/2= kn-12n-2+kn-22n-3+k120 + k0 / 2余数整数的商(D)10/2商的整数部分)/2= kn-12n-3+kn-22n-4+k220 + k1 / 2“孤立”余数后，整数的商再除以基数2，依次类推；余数依次为从低到高位的二进制数位。故而，十进制整数转换为二进制数，采用“除2取余”法。例1.1：将(173)10转换为二进制数解：考查纯小数部分将十进制纯小数转换为二
10、进制数设：(D)10=k-12-1+k-22-2+k-(m-1)2-(m-1)+k-m2-m存在：整数部分为k-1(D)10= k-1 +k-22-1+k-(m-1)2-(m-2)+k-m2-(m-1)“孤立”整数部分，小数部分再乘以基数2，依次类推。故而，十进制小数部分转换为二进制数，采用“乘2取整”法。例1.2：将(0.6875)10转换为二进制数解：例1.3：将十进制转换成二进制(219.723)10解：思考：转换误差为多少？考虑最低有效位对应的权：2-m，m是保留的位数，若要保持原数据的精度，二进制小数位的位数应保留几位？1.2.3 “二十六”进制转换由于4位二进制数恰好代表015共1
11、6种取值，而且将4位二进制数看作一个整体时，它的进位输出恰好是逢十六进一，所以采用“分组对应”法。例如：将(1011101.101001)2转换为十六进制数从小数点，n 整数部分从低到高4位一组，最高一组如不足4位高位以0补齐；n 小数部分从高到低4位一组，最低一组如不足4位低位以0补齐。5DA4( 101 1101.1010 0100 )2所以，(1011101.101001)2=(5D.A4)16 。1.1.2.3 “十六二”进制转换采用“等值代替”法。例如：(8FA.C6)16=( 1000 1111 1010 . 1100 0110 )2=( 100011111010.1100 011
12、)2。1.1.2.4 小结二进制、十六进制、八进制 数之间的转换方法为：（图1. 1）图1. 1 进制之间的转换方法其中，十进制到二进制的转换：n 整数部分：除2取余，n 纯小数部分：乘2取整。1.2 计算机中数的表示方法1.1.3.1 二进制四则运算n 加法： 1+1=0 进位1，逢二进位；n 减法： 0-1=1 借位1，逢二借位；n 乘法： 11=1，01=0；多位乘法，结合加法；n 除法：多位除法，乘法结合减法。1.1.3.2 二进制正负数的表示1.1.3.2.1 原码对于给定的字长，最高位为符号位，表示正负号：n 0 正，n 1 负，其余各位表示数的绝对值。例如：设8-bit（含符号）字长，(+43)10=(0 010 1011)2=(2B)16(-43)10=(1 010 1011)2=(AB)10正数的无符号和有符号的表示方法相同，正数的原码是它本身
