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1、集合的含义与表示（第一课时）一、教学目标（一）知识目标：使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法使学生理解集合相等的定义，初步了解“属于”关系的意义。（二）能力目标：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；通过教师引导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。（三）情感目标：通过讲述集合论的背景历史故事来激发学生学习集合的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。二、教学重难点（一）重点：集合的基本概念及表示方法之一列举法。（二）难点：运用集合的表示方法列举法正确表示一些简单的集合。三、教学过程1) 复习引入1简介
2、数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2教材中的章头引言；3集合论的创始人康托尔（德国数学家）（见附录）；4“物以类聚”，“人以群分”；2) 讲授新课（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合。定义：一般地，一些元素组成的总体叫做集合1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）集合相等的概念：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
3、（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合记作Z , （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , （5）实数集：全体实数的集合记作R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不
4、能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写（二）用描述法表示集合：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：51，52，53，100所有正奇数组成的集合：1，3，5，7，（2）a与a不同：a表示一个元素，a表示一个集合，该集合只有一个元素。（3）当集合的公共属性不明显，难以概括时，我们主要使用列举法来描
5、述集合。3) 例题分析例1：下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5（有重复） 例2：用列举法表示下列集合：（1） 小于10的所有自然数组成的集合；（2） 方程的所有实数根组成的集合；（3） 由120以内的所有质数组成的集合； 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方法，例如 A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么 B=0，1 （3）设由120以内的所有质数组成的集合为C，那么
6、C=2,3,5,7,11,13,17,194) 课堂练习1、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_2、用列举法表示下列集合xN|x是15的约数（x，y）|x1，2，y1，2四、小结5) 集合的有关概念（集合、元素、属于、不属于）6) 集合的表示方法之列举法7) 常用数集的定义及记法五、作业课本第6页第一题附录 发疯了的数学家康托尔（Georg Cantor，18451918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根
7、学习一学期1867年以数论方面的论文获博士学位1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授 由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度在18741876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论康托尔
8、的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世 集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超
9、穷数的兴趣康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础从而解决17世纪牛顿（I.Newton，16421727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，16461716）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，17891857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，18151897）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，18231891），康托尔的老
10、师，对康托尔表现了无微不至的关怀他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，18541912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，18851955）认为，康托尔关于基数的
11、等级观点是雾上之雾菲利克斯克莱因（F.Klein，18491925）不赞成集合论的思想数学家HA施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世伽罗华（E.Galois，18111832），法国数学家伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般次方程求解问题许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗日
12、对上述问题的研究才算迈出重要的一步伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上同时创立了具有划时代意义的数学分支群论，数学发展史上作出了重大贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己
13、的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书JB傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作当时的数学家SK泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类1832年5月31日离开了人间死因参加无意义的决斗受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的数学杂志上
