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1、高等代数选讲练习1设矩阵，其中均为4维列向量，且，则 40中下列子集不是的子空间的为（ A ）（A）； （B）；（C）； （D）设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且秩(A)=3，为任意常数，则线性方程组的通解为已知矩阵的特征值为，则的特征值为1/3，1/3，1/7设，则 0 ； 0 将表示成的方幂和的形式为计算设矩阵，的特征值为得1 求矩阵的所有特征值与特征向量；解：由（二重特征值），时，由，即：当2、求正交矩阵，使得为对角矩阵。，把它正交化得：得基础解系为再将其单位化得：时，由，即：当，将其单位化得：得基础解系为的一组单位正交的特征向量，令A是则是一个正交矩阵，且则P计算阶行列式：试就讨
2、论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其通解。解：对方程组的增广矩阵作初等行变换：（1）当（即且）时，秩秩，从而方程组有唯一解： ，也即（2）当时，从而方程组有无穷多解，此秩秩时增广矩阵变为：得同解方程组：得原方程组的一个特解取自由未知量在方程组的导出组中令自由未知量得原方程组的。于是方程组的一般为：导出组的一个基础解系：为任意常数。k，其中（3） 当时，即，而时，有，秩秩，从而方程组无解。，秩时，有（4）当秩从而方程组无解。 设，求。解：r(A)=3,r()=1,r【()n】=0,所以为0矩阵证明：有理数域上含有实数根的不可约多项式必是2次多项式。解：设 x=1+2 ,则 (x-1)2=2,化简得 x2-2x-1=0 .所以,1+2 必是 多项式 x2-2x-1 的根,而多项式 x2-2x-1 的系数均是有理数,且不可约.
