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1、高中数学第四章导数及其应用章末质量评估湘教版选修2-2第四章 导数及其应用章末质量评估(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1若当 1，则f(x0)等于()A. B. C D解析 f(x0)f(x0)1，f(x0).答案：D2(2011重庆)曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为()Ay3x1 By3x5 Cy3x5 Dy2x解析y3x26x，y|x13，切线方程为y23(x1)，即y3x1.答案A3函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A. B.C. D.解析yxsin x，当x(，2)时，y0，则函数yxcos xsin x在区间(，2
2、)内是增函数答案B4某汽车启动阶段的路程函数为s(t)2t35t22，则t2秒时，汽车的加速度是()A14 B4 C10 D6解析v(t)s(t)6t210t.a(t)v(t)12t10.当t2时，a(2)241014.答案A5 (1cos x)dx等于()A B2 C2 D2解析 (1cos x)dx(xsin x) 答案D6函数f(x)(0x0，得0xe；令f(x)0，得ex10.答案C7函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析f(
3、2)、f(3)是x分别为2、3时对应图象上点的切线斜率，f(3)f(2)，f(3)f(2)为图象上x为2和3对应两点连线的斜率，所以选B.答案：B8已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2 C1 D2解析设切点坐标是(x0，x01)，依题意有由此得x010，x01，a2，选B.答案B9已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A1a2 B3a6Ca1或a2 Da3或a6解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以0，即4a243(a6)0，即a23a180，解得a6或a3.答案D10(2011全国)曲线ye2x1在点
4、(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D1解析y2e2x，y|x02.切线方程为y22(x0)，即2xy20.它与yx的交点为P，所以面积S1.答案A二、填空题(每小题5分，共25分)11若dx6，则b_.解析dx2ln x2ln b26.ln b4，be4.答案e412过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是_解析易求y6x4，y|x12.所求直线的斜率k2.所求直线的方程为y22(x1)，即2xy40.答案2xy4013要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_，
5、宽为_，高为_时，可使表面积最小解析设两边分别为x cm、2x cm，高为y cm.V2x2y72，y，s2(2x22xyxy)4x26xy4x2.s8x，令s0，解得x3.答案3 m6mm14设函数f(x)x3x22x5，若对任意x1,2有f(x)7.答案m715若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析f(x)3ax2，f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)0有解，即3ax20有解，3a，而x0，a(，0)答案(，0)三、解答题(本大题共6小题，满分75分)16(本小题满分13分)已知函数f(x)x33ax22bx在点x1处有极小值1.(1)求a、b；(2
6、)求f(x)的单调区间解(1)由已知，可得f(1)13a2b1，又f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.由解得(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.根据二次函数的性质，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.求f(x)的单调区间；求所有实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立解f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)2xa.由于a0，由f(x)0知0xa，由f(x)a.所以，f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)由题意知f(1)a1e1，即ae.由知f(x)在1，e内递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立只要ae.
7、20(本小题满分12分)已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a知，2aa2.以下分两种情况讨论若a，则2aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(
8、x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若aa2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.21(本小题满分12分)(2011辽宁)设f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过点P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.求a，b的值；证明：f(x)2x2.解f(x)12ax.由题意知即解得a1，b3.证明由知f(x)xx23ln x.f(x)的定义域为(0，)设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.由g(x)0知0x1，由g(x)1.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减所以g(x)在(0，)上的最大值为g(1)0，所以g(x)0，即f(x)2x2.1
