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1、SARS传播的数学模型摘 要通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。当1 =1.5 和2 =1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。本文重点分析了关于SARS病人率的模型
2、一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i(t),然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。关键词：SARS 微分方程 曲线拟合 数学模型 相轨线一 、问题的提出SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有
3、找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。二 、模型的假设1 地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。2 据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。4 隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。5 SARS康复者二度感染的概率为0。6 国家完善
4、了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。7 由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。 三、模型的建立（一） 参数的设定和符号说明s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比例i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例l(t)：t时刻疑似病人在总体人群中的比例r(t)：t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。 ：SARS病人日接触率。为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。：日治愈率。为每天被治愈的病人占病人总
5、数的比例。：日转化率。为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。：日死亡率。为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。：疑似感染率。为每天感染为疑似病人的比例。（二）模型建立模型一 感染为SARS患者情况由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有个病人被治愈，有个病人死亡。那么病人的感染为由于 对于退出者 () 由假设可知： 故SARS患者率模型一的方程建立如下： (3) 模型二 疑似患者的变化情况与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二： (5)四、模型求解（一）
6、参数的确定和分析：1.的确定 =， =， =用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得： =0.055076，=0.038183，=0.002443。（处理数据见附件）2的确定确定 很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、的解析解。为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格库塔方法求出他们的数值解。先通过实际统计数据算出每一天的s、i、做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。我们发现当1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：:根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）通过
7、数值解作出的关于时间t 的变化（画图程序见附件）分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。但是在0,10的SARS初期范围内，曲线变化不相同。这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。并且通过对SARS蔓延期特点的分析，在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。（2）确定与确定时类似，先根据实际数据画出图形实际数据图形然后再对取
8、一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。发现当1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。图形如下：在0,10的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。五、结果分析与检验（一）讨论 的性质平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为从模型（一）中消去，利用的定义，可得 （6）由（6）式解得 （7）（二）对于合理确定的，我们可以画出图，图形如下：（画图程序见附件由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下取0.4192，0.2858、0.1858时的图形。分析（3
9、）式和（7）式，可知：1 不论初始条件，如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即。证明省略。从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。2 设最终未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程 （8）是（8）在（0,1/）内的根，在图形上是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标。对于确定下来的=0.0383，可以代入（8）式解出03 SARS疾病传染过程分析整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数随着治愈率、死亡率和接触率的不断变化而变化。（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起
10、重视。治愈率和死亡率很小，而接触率相对较大，所以很小。当，则开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。（2）当=时，达到最大值 （9）对于我们确定的，可以求出0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。（3）当时，单调减小至零，单调减小至。这一时期病人比例绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。4群体免疫和预防根据对模型的分析，当是传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低，这可以通过预防接种使群体免疫。第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾
11、。忽略病人比例的初始值，有=1-，于是SARS不再蔓延的条件可以表示为： （10）所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例满足（10），就可以制止SARS的蔓延。5数值验证与估量根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值。我们以最终未感染的健康者的比例和病人比例达到最大值，作为传染病蔓延程度的度量指标。给定不同的，用（）式计算，用（9）式计算1.00.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81
12、220.02000.40.51.250.980.020.91720.02001.00.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200从计算得到的和可以看出：（1）对于一定的，降低，提高，使阈值1/变大，会使变大，变小。于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。（2）对于一定的，提高 ，会使变大，变小。所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS
13、蔓延的速度。在（8）式中略去很小的，即有 （11）6模型验证首先，由方程（1）和（3）可以得到 （12） （13）当时，取（13）式右端Taylor展开的前三项，在初始值下的解为 （14）其中,从（14）式算出 （15）将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到（其中，）对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。7对卫生部措施的评估在模型中，的取值大小能充分反映接触率的变化。若采取的隔离措施提前T天，那么将相应减小，反之则增加。不妨将的值取为1.3和1.7，作出相应的图形7和图8。图7图8由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部采取的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。至于到底提前或延后几天最好，还有待进一步研究。六、
