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1、在复数的教学中渗透数学思想方法10633在复数的教学中渗透数学思想方法清远市第一中学吴惠清 数学思想是数学研究中解决问题的根本想法，是解决数学问题的灵魂。近几年的高考也加强了对数学思想方法的考查，因此在教学中渗透、突出数学思想方法，教会学生掌握灵活的思维方式、提高数学能力应成为教师备课的深层任务。本文对复数这章的教学所要渗透的主要数学思想方法作粗浅的归纳。1 函数思想运用函数思想来解题就是将问题置于动态的情境中去分析和研究具体问题中的数量关系。求复数的模的最值问题有时需转化为关于复数z的实部x或虚部y的二次函数进行讨论求最值。例1 设zC，且z -（2+ EMBED Equation.3 ）+
2、z -（2 - EMBED Equation.3 ）=4，求z的最大值解 设z=x+yi （x，yR）z -（2+ EMBED Equation.3 ）+z -（2 - EMBED Equation.3 ）=4表示到两定点F1（2， EMBED Equation.3 ）和F2（2， EMBED Equation.3 ）的距离之和等于4的点的轨迹，是椭圆。a=2, b=1, c= EMBED Equation.3 动点（x，y）的轨迹方程为（x 2）2+ EMBED Equation.3 =1（1x3）z= EMBED Equation.3 x2+y2=x2+4- 4(x-2)2= - 3 (x
3、 EMBED Equation.3 )2+ EMBED Equation.3 x= EMBED Equation.3 时，x2+y2= EMBED Equation.3 ，这时y= EMBED Equation.3 z= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 时，z有最大值 EMBED Equation.3 2 方程思想运用方程思想求解复数问题就是将问题转化为待定字母的确定，而这些字母的确定又要通过解方程（组）来完成，这种基本方法深刻地体现了方程的思想。例2 求同时满足下列两个条件的所有复数z：（1）z+ EMBED Equati
4、on.3 是实数，且1 z+ EMBED Equation.3 6；（2）z的实部和虚部都是整数.解 设z+ EMBED Equation.3 =mR，从而转化为方程z2-mz+10=0，由1m6 知=m2-400,z= EMBED Equation.3 又z的实部和虚部都是整数，所以由 EMBED Equation.3 是整数知m只能取2，4，6，但 EMBED Equation.3 为整数知m只能取2，6.满足条件的复数为z=13i及3i。3 化归思想把待解决的问题通过某种手段化归为能解决或较易解决的问题，从而获得原问题的解决，这种基本方法体现了化归思想。求解复数问题时，常常把复数z设成z
5、=a+bi (a，bR)或设成z=r（cos+isin）将关于复数z的问题化归为关于实数a,b或r,的问题，进而把问题解决。 例3 设z是虚数，=z+ EMBED Equation.3 是实数，且-12。 （1）求z的值及z的实部的取值范围；（2）设= EMBED Equation.3 ，求证：是纯虚数；（3）求-2的最小值。解 （1）设z=a+bi(a,bR，且b0)则=a+bi+ EMBED Equation.3 =(a+ EMBED Equation.3 )+(b- EMBED Equation.3 )i是实数，b0，b- EMBED Equation.3 =0，得a2+b2=1，即z=
6、1于是=2a,而-1=2a2，- EMBED Equation.3 a0故-222 EMBED Equation.3 - 3=4 3=1当a+1= EMBED Equation.3 ，即a=0时，-2取得最小值1。4 整体思想从整体的角度去思考问题，把问题看成一个整体，注重从全局着眼，全面、系统地观察分析整体与局部，整体与结构的关系，从而把握问题的本质，寻找解题捷径。在教学中渗透整体思想，可以培养学生思维的灵活性。例4 已知zC， EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 且arg（ EMBED Equation.3 ）= EMBED Equation.3 ，求z
7、.解 由已知，可得 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 （cos EMBED Equation.3 +isin EMBED Equation.3 ）= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 z（1- EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ）=1 z= EMBED Equation.3 =1+ EMBED Equation.3 .说明：该题也可通过设z=x+yi(x、yR)求解，但过程繁复.可见，从整体出发利用条件，解题思路流畅，运算量小，极受中学生欢迎。5 数形结合思想数形结合思想，实质就是将抽象的
8、数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，它可以培养学生思维的灵活性、形象性和深刻性.在求解复数问题时，如果能充分利用复数及其运算的几何意义，画出问题的图形，常使问题变得直观、简捷、易解。例5 已知复数z满足arg（z-3）= EMBED Equation.3 ，求M= EMBED Equation.3 的最大值。 解 如图，arg（z-3）= EMBED Equation.3 表示点Z在射线 PQ上运动，因此，只要求出射线PQ上的 点Z到A（6，0）和B（0，3）的距离之和 的最小值即可。 根据平几知识，当点Z为线段AB与射线PQ的交点时，这个距离和最小，即，z-6+z-3i
9、min=AB= EMBED Equation.3 =3 EMBED Equation.3 Mmax= EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 例6 已知复数z满足不等式z EMBED Equation.3 +iz-i EMBED Equation.3 0，求arg（z+i）的最小值和最大值。 解 将z EMBED Equation.3 +iz-i EMBED Equation.3 0 化简为z-i21， z-i1 即点Z在以O1（0，1） 为圆心，1为半径的圆面上运动，从图 形上知O1A=2，O1Z=1， O1AZ= EMBED Equation.3 , EMB
10、ED Equation.3 arg（z+i） EMBED Equation.3 arg（z+i）min= EMBED Equation.3 , arg（z+i）max= EMBED Equation.3 数形结合法是复数一章体现最突出的数学思想方法，充分运用数形结合这一基本数学思想，是学好本章的关键。6 分类讨论思想当被研究的对象包含多种可能的情况，我们又不能一概而论的时候，可将对象分成若干个两两不相交的部分，常常能更清楚地暴露事物的本质，可以培养学生思维的严谨性。例7 设a0,在复数集C中解方程z2+2z=a解 设z=x+yi（x、yR），则原方程化为x2-y2+ EMBED Equatio
11、n.3 +2xyi=a，从而有 EMBED Equation.3 由知y=0或x=0，可见原方程有实根或纯虚根，下面分别讨论：（1）若y=0时，则z=x，将y=0代入方程可得：x2+2x=a，从而有x= -1+ EMBED Equation.3 （a0）a0时，原方程有实数根z=（ -1+ EMBED Equation.3 ） （2）若x=0时，则z=yi，将x=0代入方程可得：-y2+2y-a=0 1）若a=0，则-y2+2y=0，从而得y=2,此时原方程的纯虚根为 z=2i. 2）若01,这时 EMBED Equation.3 不是实数， 原方程无纯虚根. 综上可知：当a=0时，原方程有实根z=0和纯虚根z=2i；当01时，原方程无纯虚根，只有实根z=（-1+ EMBED Equation.3 ）。 2000年4月 PAGE PAGE 5 3333633OxyQBAPZyxO-12AZO1
