第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件学习目标素养要求理解充分条件、必要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；会判断充分条件、必要条件数学抽象逻辑推理|自 学 导 引|1命题：可以判断真假的陈述句叫做命题2数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是它的表述进行适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式，这样条件p和结论q就明确了充分条件与必要条件1如果已知“若p，则q”为真命题，即pq，那么我们说p是q的_，q是p的_充分条件必要条件pq充分必要充要充要既不充分也不必要3数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_条件；数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_条件；数学中的每一个定义都给出了相应结论成立的一个_条件充分必要充要【预习自测】(1)“x1”是“(x1)(x2)0”的_条件(2)设 集 合 M x|0 x3，N x|0 x2，那 么“aM”是“aN”的_条件(3)设p：一元二次方程ax2bxc0有实数根，q：b24ac0，则p是q的_条件【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分(3)充要|课 堂 互 动|题型1充分、必要、充要条件的判断(1)(多选)下列选项中，p是q的充要条件的为()Ap：x0，y0，q：xy0Bp：ab，q：acbcCp：x5，q：x10(2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】(1)BD(2)B(2)由两个三角形全等可得，两个三角形面积相等反之不成立故“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件故选B1(1)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是()A“a2b2”是“ab”的充分条件B“a2b2”是“ab”的必要条件C“ac2bc2”是“ab”的充分条件D“|a|b|”是“ab”的充要条件(2)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件那么：s是q的什么条件？r是q的什么条件？p是q的什么条件？【答案】(1)C【解析】对于A，当a5，b1时，满足a2b2，但是ab，所以充分性不成立；对于B，当a1，b2时，满足ab，但是a2b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2bc2，得c0，则ab成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a5，b1时，|a|b|成立，但是ab，所以充分性不成立，当a1，b2时，满足ab，但是|a|b|，所以必要性也不成立，故“|a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件故选C题型2充分条件与必要条件的应用已知p：2x10，q：1mx1m(m0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题(2)求解步骤：首先将充分条件、必要条件转化为集合间的包含关系，然后借助数轴直观建立关于参数的不等式(组)进行求解2已知p：4xa4，q：(x2)(x3)0，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围题型3充要条件的证明证明：一元二次方程ax2bxc0有一个正根和一个负根的充要条件是ac0充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向3证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是ACBD证明：(必要性)在等腰梯形ABCD中，ABDC，ABCDCB又BCCB，BACCDB(SAS)，ACBD(充分性)如图，过点D作DEAC，交BC的延长线于点EADBE，DEAC，四边形ACED是平行四边形DEACACBD，BDDE，E1又ACDE，2E，12易错警示没有分清条件与结论命题“x2”的一个充分不必要条件是_(答案不唯一)错解：命题“x2”的一个充分不必要条件是x3(或任意填写一个不等式：xa，a为大于2的任一实数)易错防范：错解的根源在于没有分清条件与结论之间的关系若命题p的一个充分不必要条件是命题q，那么有qp也就是命题“x2”是结论，我们要填的是条件防范措施是对于充分或必要条件的判断，首先要分清谁是条件，谁是结论正解：命题“x2”的一个充分不必要条件是x1(或任意填写一个不等式：xa，a为小于2的任一实数)|素 养 达 成|1判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断(体现了逻辑推理核心素养)2证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性分别是证明怎样的一个命题成立“A的充要条件为B”的命题的证明：AB证明了必要性；BA证明了充分性“A是B的充要条件”的命题的证明：AB证明了充分性；BA证明了必要性1(题型1)若p：aMN，q：aM，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C既是充分条件也是必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【答案】A3(题型1)“2x4”是“x4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A4(题型2)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_【答案】15(题型3)(2023年西安月考)求证：x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根的充要条件是abc0(a0)证明：当abc0时，cab，代入方程ax2bxc0，得ax2bxab(axab)(x1)0，解得x1，充分性成立；当x1时，一元二次方程ax2bxc0化为abc0，必要性成立所以x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根的充要条件是abc0(a0)。
