《正弦定理、余弦定理及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正弦定理、余弦定理及其应用.doc（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正弦定理、余弦定理及其简单应用1正弦定理教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题.教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用.一、引言： 在直角三角形中，利用三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数定义，可以由已知的边和角求出未知的边和角.那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理 二、知识要点：1、任意三角形面积公式：在任意斜ABC当中：SABC=2、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即（R为ABC外接圆半径）证明：直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1 即: c=，c=，c=斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC
2、当中SABC= 两边同除以即得：=, 证明二：（外接圆法）如图所示，,同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于,由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =3、正弦定理变通公式：4、正弦定理的应用，从理论上正弦定理可解决两类问题： 两角和任意一边，求其它两边和一角；两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.5、已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1、已知在.解：,由得:由得:例2、在解：,例3、 解：，例4、
3、已知ABC，B为角B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线 ,ABDDBC sinABDsinDBCADBBDC180,sinADBsin（180BDC）sinBDC,评述：此题可以启发学生利用正弦定
4、理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用例5、已知ABC 中，(参考优等生数学P34)解析： 四、课堂练习：1、在ABC中，已知，则：a2，b2，c2有何关系.证明：由已知得sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B,2cos2Bcos2Acos2C,2sin2Bsin2Asin2C由正弦定理可得2b2a2c2，即a2，b2，c2成等差数列.2、已知ABC中，S=，外接圆半径R=1，求abc.(参考优等生数学P34)解析：五、小结 正弦定理，两种应用2余弦定理教学目的：1、掌握正弦定理、余弦定理；2、使学生
5、能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用一、引入：在RtABC中(若C=90)有：，问题：一般的三角形中，三边a、b、c是否也存在某种关系呢？对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？二、讲解新课：引例：直角顶点为C的直角三角形ABC中三边存在如下关系：c2a2b2（勾股定理）方法1：（平面几何方法）探究：ABCabcDh(1)锐角三角形构造直角三角形，寻找三角比.作ADBC，垂足为D.设CDx，得BDax在RtADC中，h2b2x2；在RtADB中，h2c2(ax)2b2x2c
6、2(ax)2，即a2b2c22ax2abcosC则c2a2b22abcosC，同理：a2b2c22bccosA；b2a2c22accosBABCabcDh(2)钝角三角形构造直角三角形，寻找三角比.作ADBC，垂足为D.设CDx，得BDxa在RtADC中，h2b2x2；在RtADB中，h2c2(xa)2b2x2c2(xa)2，余略结论：余弦定理：a2b2c22bccosA1、余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即 ：定理证明：方法2、坐标法推导余弦定理：证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、
7、B、C三点的坐标分别为：A(bcosC,bsinC),B(a,0),C(0,0)（用正弦定理）.先证明如下等式： 证明： 故式成立，再由正弦定理变形，得结合、有：即 . 同理可证 ，.（向量法）： 如图在中，、的长分别为、即,同理可证 ，2、对定理的认识：(1) 适用范围：任意三角形；(2) 定理特征：关于三边一角的关系式；勾股定理是其特例；(3) 定理运用： 已知两边一夹角，求第三条边； 已知三边，求角.三、讲解范例：例1、在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C.解： 0725, A44, 08071， C36, B180(AC)100(sinC 05954, C 36或144(舍
8、)例2、在ABC中，已知B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=4590 即ba , A=60或120当A=60时C=75 当A=120时C=15 解二：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：解之：当时,从而A=60 ，C=75当时同理可求得：A=120 ，C=15例3、在ABC中，AB5，AC3，D为BC中点，且AD4，求BC边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设BC边为，则由D
9、为BC中点，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180,cosADBcos（180ADC）cosADC.,解得，2, 所以，BC边长为2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外思路如下：由三角形内角平分线性质可得，设BD5，DC3，则由互补角ADC、ADB的余弦值互为相反数建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出sinA.例4、在ABC中， A=2B和a、b，求c.（参考优秀生教案P42）例5、在ABC中，已知sinBsinCcos2，试判
10、断此三角形的类型.解：sinBsinCcos2, sinBsinC,2sinBsinC1cos180（BC）将cos（BC）cosBcosCsinBsinC代入上式得：cosBcosCsinBsinC1, cos（BC）1，又0B，C，BCBC0 BC故此三角形是等腰三角形.变式1：在ABC中，bcosAacosB试判断三角形的形状.解法一：利用余弦定理将角化为边.bcosAacosB,bb2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理将边转化为角bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，2sinBcosA2sinAcosBsinAcosBcosA
11、sinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB故此三角形是等腰三角形.变式2：已知ABC中，是判断ABC的形状.(高中数学竞赛培训教材，李胜宏P146)例6、例在ABC中，证明下列各式：（1）（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0(2) 证明：(1)左边（a2b2c2）故原命题得证 故原命题得证.例7、中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，求最大角；求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.解：设三边， 且，为钝角， ，解得， 或，但时不能构成三角形应舍去，当时，；设夹角的两边为，所以，当时，例8、在任一ABC中求证：证：左边=0=右边练习：1、求
12、sin220cos280sin20cos80的值.解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2b22abcos150c2（）而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入()式得：sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150，原式.2、如图，在四边形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的长解：在ABD中，设BD=x则即 ,整理得：解之： , （舍去）.由余弦定理： ,3、在ABC中已知a2bcosC，求证：ABC为等腰三角形.证法1：欲证ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数，由正弦定理得a，2bcosC，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinCsinBcosCcosBsinC0，即sin（BC）0，BC（）B、C是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形证法2：根据射影定理，有abcosCccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即又即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC为等腰三角形证法3：c
